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| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Stammfunktion F(x)
[mm] \gamma = \bruch {1}{\wurzel{2x + 1} - 3}[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich hab Verständnisschwierigkeiten mit Integration. Insbesondere mit Integration durch Substitution und darum habe ich eine Bitte, nachdem ich nun Bücher en masse gewälzt hab. Wär nett wenn mir jemand einfach diese Aufgabe mal Schritt für Schritt berechnen könnte, damit ich mal endlich hinter das Prinzip komme.
Wie entscheide ich, was ich am besten substituiere?
Wie bringe ich das Substituierte wieder zurück...usw.
Irgendwo hakts da nämlich leider. Vielen Dank!
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Hallo strohbert,
Für dein Integral [mm] \integral{\bruch {1}{\wurzel{2x + 1} - 3}dx}
[/mm]
bietet sich m.E. die Substitution [mm] $\green{u}:=\red{\sqrt{2x+1}-3}$ [/mm] an
[mm] \Rightarrow u+3=\sqrt{2x+1} \Rightarrow (u+3)^2=2x+1 \Rightarrow x=\frac{(u+3)^2-1}{2}
[/mm]
Damit ist [mm] $\frac{dx}{du}=\frac{1}{2}\cdot{}2(u+3)^1\cdot{}1=u+3$
[/mm]
[mm] \Rightarrow \red{dx}=\green{du\cdot{}(u+3)}
[/mm]
Nun ersetzen wir [mm] \red{\sqrt{2x+1}-3} [/mm] durch [mm] \green{u} [/mm] und [mm] \red{dx} [/mm] durch [mm] \green{{du\cdot{}(u+3)}}
[/mm]
Also [mm] \integral{\bruch {1}{\red{\wurzel{2x + 1} - 3}}\red{dx}}=\integral{\bruch {1}{\green{u}}\green{du(u+3)}}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch {u+3}{u}du}=\integral{1du}+\integral{\bruch {3}{u}du}=\integral{1du}+3\cdot{}\integral{\bruch {1}{u}du} [/mm] multiplikative Konstante kann man ja vor das Integral ziehen
Davon nun eine Stammfunktion bilden und anschließend rücksubstituieren, also für $u$ wieder [mm] $\sqrt{2x+1}-3$ [/mm] einsetzen.
Gruß
schachuzipus
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Okay, das hilft mir schonmal ungemein. Ich danke sehr und schreib jetzt mal den Rest und hoffe nicht nervig zu sein. Vllt ist hier für mich ein Knackpunkt.
[mm] \integral{1 du} + 3 * \integral{\bruch{1} {u} du}
= u + 3 * ln |u|
[/mm]
und dann rücksubstituieren?
vllt hätte ich es direkt angeben sollen - das Ergebnis ist laut Lösung:
[mm] F (x) = \wurzel{2x + 1} + 3 * ln | 3 - \wurzel{2x + 1}|
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo strohbert!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig, nun resubstituieren.
Aber nicht verwirren lassen, Deine Stammfunktion sieht leicht anders aus. Allerdings unterscheidet diese sich von der Musterlösung lediglich um einen konstanten Summanden (= Integrationskonstante), was also gar nichts macht.
Gruß
Loddar
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...das heißt:
[mm] F (x) = \wurzel{2x + 1} - 3 + 3 \cdot{} ln | \wurzel{2x + 1} - 3|
= \wurzel{2x + 1} + 3 \cdot{} ln | 3 - \wurzel{2x + 1}| [/mm]
sind beides richtige Stammfunktionen?
Unterscheiden sich durch die Integrationskonstante? Woran erkenn ich das?
Danke für die Geduld...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo strohbert!
Als gleich sind diese beiden Funktion nicht, da sie sich ja um den Term $-3_$ unterscheiden. Aber beides sind Stammfunktionen Deiner Funktion $f(x)_$ . Leite beide mal ab, und du solltest jedesmal Deine Ausgangsfunktion erhalten.
[mm]F_1 (x) \ = \ \wurzel{2x + 1} \ \red{- 3} \ + 3*\ln | \wurzel{2x + 1} - 3|[/mm]
[mm]F_2(x) \ = \ \wurzel{2x + 1} + 3*\ln | 3 - \wurzel{2x + 1}|[/mm]
> Unterscheiden sich durch die Integrationskonstante? Woran erkenn ich das?
Siehe farbliche Markierung oben.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Fr 06.04.2007 | | Autor: | strohbert |
jap, nachvollziehbar. Solche Sachen fallen ja eh raus. Integrationskonstante. Oke. Jetzt brauch ich nur noch ein wenig Integrieren üben.
Dank sei Euch und Frohe Ostern!
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