Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Di 17.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Aufgabe 1
Bestimme das folgende Integral mithilfe des Substitutionsverfahrens.
[mm] \integral_{}^{}{2x*cos(x^2) dx}
[/mm]
Aufgabe 2
Kann man folgendes Integral durch Integration durch Substitution bestimmen?
[mm] \integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^2} dx}
[/mm]
|
Moin,
Aufgabe 1
[mm] \integral_{}^{}{u'(x)*v(x) dx} [/mm] = [u(x)*v(x)] - [mm] \integral_{}^{}{u(x)*v'(x) dx}
[/mm]
u'(x) = 2x u(x) = [mm] x^2 [/mm]
v(x) = [mm] cos(x^2) [/mm] v'(x) = 2x*(- [mm] sin(x^2))
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{2x*cos(x^2) dx} [/mm] = [mm] [x^2 [/mm] * [mm] x*(cos(x^2)] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{x^2*(-2x*(sin(x^2)) dx}
[/mm]
Hier kann ich aber keine Vereinfachung, geschweige denn Lösung, erkennen...
Aufgabe 2
Zwar habe ich hier eine verkettete Funktion, aber nicht einen Funktionsaufbau g'(x) * f(g(x))
Daher kann ich dieses Problem nicht mit dem Substitutionsverfahren lösen.
Richtig?
|
|
| |
|
> Aufgabe 1
>
> Bestimme das folgende Integral mithilfe des
> Substitutionsverfahrens.
>
> [mm]\integral_{}^{}{2x*cos(x^2) dx}[/mm]
>
>
> Aufgabe 2
>
> Kann man folgendes Integtal durch Integration durch
> Substitution bestimmen?
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^2} dx}[/mm]
>
>
> Moin,
>
> Aufgabe 1
>
> [mm]\integral_{}^{}{u'(x)*v(x) dx}[/mm] = [u(x)*v(x)] -
> [mm]\integral_{}^{}{u(x)*v'(x) dx}[/mm]
>
> u'(x) = 2x u(x) = [mm]x^2[/mm]
>
> v(x) = [mm]cos(x^2)[/mm] v'(x) = 2x*(- [mm]sin(x^2))[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{2x*cos(x^2) dx}[/mm] = [mm][x^2[/mm] * [mm]x*(cos(x^2)][/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{x^2*(-2x*(sin(x^2)) dx}[/mm]
>
> Hier kann ich aber keine Vereinfachung, geschweige denn
> Lösung, erkennen...
Hallo,
ein Grund dafür könnte sein, daß Du im Gegensatz zum Auftrag nicht substituierst, sondern eine Partielle Integration betreibst.
>
>
> Aufgabe 2
>
> Zwar habe ich hier eine verkettete Funktion, aber nicht
> einen Funktionsaufbau g'(x) * f(g(x))
>
> Daher kann ich dieses Problem nicht mit dem
> Substitutionsverfahren lösen.
>
> Richtig?
>
Richtig, mit einmal Substituieren ist man hier nicht am Ziel aus dem von Dir genannten Grund.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Di 17.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
danke Angela!
Da bin ich wohl im Buch etwas verrutscht.
Probieren wir's nochmal.
Aufgabe 1
Bestimme das folgende Integral mithilfe des
Substitutionsverfahrens.
[mm] \integral_{}^{}{2x*cos(x^2) dx} [/mm]
Aufgabe 1
[mm] \integral_{}^{}{v'(x)*u'(v(x)) dx} [/mm] = [u(v(x))]
v'(x) = 2x
v(x) = [mm] x^2
[/mm]
u'(v(x)) = [mm] cos(x^2) [/mm]
u(v(x)) = [mm] sin(x^2)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{2x*cos(x^2) dx} [/mm] = [mm] [sin(x^2)] [/mm]
Wenn ich feste Grenzen hätte würde ich nun
F(v(b)) - F(v(a))
bilden.
Da ich ein unbestimmtes Integral habe, muss ich
für x [mm] -\infty [/mm] bzw. [mm] +\infty [/mm] einsetzen, richtig?
Dann erhalte ich
[mm] sin(\infty^2) [/mm] - [mm] sin((-\infty)^2) [/mm]
und das ist
=0
oder nicht?
|
|
|
| |
|
> Moin,
>
> danke Angela!
>
> Da bin ich wohl im Buch etwas verrutscht.
>
> Probieren wir's nochmal.
>
>
> Aufgabe 1
>
> Bestimme das folgende Integral mithilfe des
> Substitutionsverfahrens.
>
> [mm]\integral_{}^{}{2x*cos(x^2) dx}[/mm]
>
> Aufgabe 1
>
> [mm]\integral_{}^{}{v'(x)*u'(v(x)) dx}[/mm] = [u(v(x))]
>
> v'(x) = 2x
>
> v(x) = [mm]x^2[/mm]
>
> u'(v(x)) = [mm]cos(x^2)[/mm]
>
> u(v(x)) = [mm]sin(x^2)[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{2x*cos(x^2) dx}[/mm] = [mm][sin(x^2)][/mm]
>
> Wenn ich feste Grenzen hätte würde ich nun
>
> F(v(b)) - F(v(a))
>
> bilden.
>
> Da ich ein unbestimmtes Integral habe, muss ich
>
> für x [mm]-\infty[/mm] bzw. [mm]+\infty[/mm] einsetzen, richtig?
Hallo,
nein, Du verwechselst das mit dem uneigentlichen Integral.
Das unbestimmte Integral steht für "Stammfunktion"
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 17.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
> > Da ich ein unbestimmtes Integral habe, muss ich
> >
> > für x [mm]-\infty[/mm] bzw. [mm]+\infty[/mm] einsetzen, richtig?
>
> Hallo,
>
> nein, Du verwechselst das mit dem uneigentlichen Integral.
>
> Das unbestimmte Integral steht für "Stammfunktion"
>
> Gruß v. Angela
Das heisst korrekt müsste es heißen,
"Da ich ein uneigentliches Integral habe, muss ich
für x [mm]-\infty[/mm] bzw. [mm]+\infty[/mm] einsetzen, richtig?"
Das Ergebnis ist =0 , richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo hase-hh!
Du schmeißt da die Begriffen "unbestimmtes Integral" und "uneigentliches Integral" durcheinander.
Bei einem unbestimmten Integral gibt es keine Integrationsgrenzen, die man einsetzen kann. Man erhält also durch die Integration eine Stammfunktion, bei der man auch stets die Integrationskonstante $+C_$ hinzufügen muss.
Bei Deiner 1. Aufgabe handelt es sich um ein solches unbestimmtes Integral.
Die 2. Aufgabe ist ein bestimmtes Integral, da hier zwei Integrationsgrenzen vorgegeben sind.
Ein uneigentliches Integral hat Integrationsgrenzen, welche aber am Rande des Definitionsbereiches der zu integrierenden Funktion und/oder der Stammfunktion liegen. Es handelt sich als um einen Spezialfall eines bestimmten Integrals.
Um diesen Wert des Integrals zu bestimmen, muss man eine entsprechende Grenzwertbetrachtung für die "uneigentliche Grenze" einführen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Di 17.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Moin,
>
> danke Angela!
>
> Da bin ich wohl im Buch etwas verrutscht.
>
> Probieren wir's nochmal.
>
>
> Aufgabe 1
>
> Bestimme das folgende Integral mithilfe des
> Substitutionsverfahrens.
>
> [mm]\integral_{}^{}{2x*cos(x^2) dx}[/mm]
>
> Aufgabe 1
>
> [mm]\integral_{}^{}{v'(x)*u'(v(x)) dx}[/mm] = [u(v(x))]
>
> v'(x) = 2x
>
> v(x) = [mm]x^2[/mm]
Hallo, deine Reihenfolge ist etwas unnatürlich.
"Substituieren" heißt "Ersetzen". Du hast dich dazu entschlossen, [mm] x^2 [/mm] durch v zu ersetzen.
Also heißt dein Integral jetzt
[mm]\integral_{}^{}{2x*cos(v) dx}[/mm] .
Das nützt erst einmal wenig, weil du jetzt zwei Variable ( v und immer noch x) hast.
Deshalb leiten wir [mm] v=x^2 [/mm] nach x ab:
[mm] \bruch{dv}{dx}=2x. [/mm] (Das hast du auch gemacht - v'(x)=2x steht bei dir.)
Um nur noch v zu haben und das "dx" im Integral zu beseitigen, stellen wir um:
Aus [mm] \bruch{dv}{dx}=2x [/mm] folgt [mm] dx=\bruch{dv}{2x}, [/mm] durch diesen Term können wir im Integral das dx ersetzen.
Wir erhalten
[mm]\integral_{}^{}{2x*cos(v) \bruch{dv}{2x}}[/mm] .
Merkst du was? Das "2x" kann man kürzen, übrig bleibt [mm]\integral_{}^{}{cos(v) dv}[/mm] .
Das ergibt natürlich sin(v) +c. Jetzt musst du deine Substitution nur noch rückgängig machen, also an Stelle von v wieder [mm] x^2 [/mm] einsetzten.
Es gilt also
[mm]\integral_{}^{}{2x*cos(x^2) dx}=sin(x^2)+c[/mm] .
(Zur Probe kannst du [mm] sin(x^2)+c [/mm] ableiten).
Gruß Abakus
>
> u'(v(x)) = [mm]cos(x^2)[/mm]
>
> u(v(x)) = [mm]sin(x^2)[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{2x*cos(x^2) dx}[/mm] = [mm][sin(x^2)][/mm]
>
> Wenn ich feste Grenzen hätte würde ich nun
>
> F(v(b)) - F(v(a))
>
> bilden.
>
> Da ich ein unbestimmtes Integral habe, muss ich
>
> für x [mm]-\infty[/mm] bzw. [mm]+\infty[/mm] einsetzen, richtig?
>
> Dann erhalte ich
>
> [mm]sin(\infty^2)[/mm] - [mm]sin((-\infty)^2)[/mm]
>
> und das ist
>
> =0
>
> oder nicht?
>
|
|
|
|
