Integration durch Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \integral{cosh^5 (x) dx} [/mm] |
hallo erstmal, also ich schreibe in 2 wochen meine mathe klausur und ich hab keine ahnung von integralrechnung
ich habs mir bereits angesehen, aber irgendwie versteh ich gar nichts..
es wär wahnsinnig nett, wenns mir mal jemand erklären könnte vllt anhand dieser aufgabe
[mm] \integral cosh^5 [/mm] (x) dx
ich weiß überhaupt nicht wie ich anfangen soll..
naja..ich hab mir andere aufgaben angesehen und vllt..so
u= [mm] cosh^5 [/mm]
du/dx= (x)
dx= du/x
[mm] \integral u^5 [/mm] (x) du/x
..oder so ähnlich???
oder zb hier
[mm] \integral [/mm] x³ ln (2x) ln (3b)dx
wie fang ich da am besten an und auf was muss ich achten?
ich komm damit irgendwie überhaupt nicht zurecht
danke schonmal im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo summerlove,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\integral{cosh^5 (x) dx}[/mm]
> hallo erstmal, also ich schreibe
> in 2 wochen meine mathe klausur und ich hab keine ahnung
> von integralrechnung
>
> ich habs mir bereits angesehen, aber irgendwie versteh ich
> gar nichts..
> es wär wahnsinnig nett, wenns mir mal jemand erklären
> könnte vllt anhand dieser aufgabe
>
> [mm]\integral cosh^5[/mm] (x) dx
>
> ich weiß überhaupt nicht wie ich anfangen soll..
>
> naja..ich hab mir andere aufgaben angesehen und vllt..so
>
> u= [mm]cosh^5[/mm]
> du/dx= (x)
> dx= du/x
>
> [mm]\integral u^5[/mm] (x) du/x
> ..oder so ähnlich???
>
Wenn Du hier unbedingt eine Substitution verwenden willst,
dann wähle hier
[mm]u=\cosh\left(x\right) \Rightarrow du=\sinh\left(x\right) \ dx[/mm]
Hieraus folgt wiederum [mm]dx=\bruch{1}{\sinh\left(x\right)} \ du = \bruch{1}{\wurzel{u^{2}-1}} \ du[/mm]
Dann ergibt sich das Integral zu
[mm]\integral cosh^5 (x) dx=\integral_{}^{}{ \bruch{u^{5}}{\wurzel{u^{2}-1}}\ du}[/mm]
Besser ist hier allerdings die partielle Integration
Schreibe dazu das obige Integral wie folgt:
[mm]\integral cosh^5 (x) dx=\integral_{}^{}{\cosh^{4}\left(x\right)*\cosh\left(x\right) \ dx}[/mm]
und wähle dann [mm]u\left(x\right)=\cosh^{4}\left(x\right), \ v'\left(x\right)=\cosh\left(x\right)[/mm]
Dann kommst Du hier auf eine Rekursionsformel zur Berechnung
des Integrals, das heißt, die partielle Integration muß mehrfach
angewendet werden.
>
> oder zb hier
>
> [mm]\integral[/mm] x³ ln (2x) ln (3b)dx
>
> wie fang ich da am besten an und auf was muss ich achten?
Zunächst wurd das Integral umgeschrieben:
[mm]\integral x³ ln (2x) ln (3b)dx=\ln\left(3b\right)*\integral_{}^{}{x^{3}*\ln\left(2x\right) \ dx}[/mm]
Nun kannst Du für die Berechnung des Integrals
[mm]\integral_{}^{}{x^{3}*\ln\left(2x\right) \ dx}[/mm]
wieder die partielle Integration verwenden.
Wähle dazu hier [mm]v'\left(x\right)=x^{3}, \ u\left(x\right)=\ln\left(2x\right)[/mm].
> ich komm damit irgendwie überhaupt nicht zurecht
> danke schonmal im vorraus
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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zuerst mal vielen vielen dank für deine antworte mathepower
aber wieso ist dx= 1/sin(x)du? und dann = 1/ [mm] \wurzel [/mm] u²-1 ?
das leuchtet mir im moment noch nicht so richtig ein, wär nett wenn du mir das erklären könntest. Ich kann die schritte irgendwie nicht ganz nachvollziehen.
also dass mit dem u und du ist mir klar, dass das die ableitung ist...
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Hallo summerlove,
> zuerst mal vielen vielen dank für deine antworte
> mathepower
>
> aber wieso ist dx= 1/sin(x)du? und dann = 1/ [mm]\wurzel[/mm] u²-1
> ?
Wir haben ja [mm] u= \cosh\left(x\right)[/mm]
Hieraus folgt dann [mm]du = \sinh\left(x\right) \ dx[/mm]
Dann ist
[mm]dx=\bruch{1}{\sinh\left(x\right)} du[/mm]
Ersezten wir nun x gemäß der Substitution: [mm]x=\operatorname{arcosh}\left(u\right)[/mm]
Dann ist [mm]\sinh\left(x\right)=\sinh(\operatorname{arcosh}\left(u\right)[/mm]
Nach dieser ![[]](/images/popup.gif) Beziehung gilt
[mm]\sinh\left(x\right)=\wurzel{\cosh^{2}\left(x\right)-1}[/mm]
Daher ist
[mm]\sinh\left(x\right)=\sinh\left(\operatorname{arcosh}\left(u\right)\right)=\wurzel{\cosh^{2}\left(\operatorname{arcosh}\left(u\right)\right)-1}=\wurzel{u^{2}-1}}[/mm]
Somit ist
[mm]dx=\bruch{1}{\sinh\left(x\right)} \ du=\bruch{1}{\wurzel{u^{2}-1}} \ du[/mm]
> das leuchtet mir im moment noch nicht so richtig ein, wär
> nett wenn du mir das erklären könntest. Ich kann die
> schritte irgendwie nicht ganz nachvollziehen.
> also dass mit dem u und du ist mir klar, dass das die
> ableitung ist...
>
Gruß
MathePower
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danke nochmal, also bis jetzt ist es klar, allerdings frage ich mich noch wieso
x = arcosh (u) ist
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Hallo summerlove,
> danke nochmal, also bis jetzt ist es klar, allerdings frage
> ich mich noch wieso
>
> x = arcosh (u) ist
Das ist die Umkehrfunktion von u, denn
[mm]u=\cosh\left(x\right)=\cosh\left( \ \operatorname{arcosh}\left(u\right)\ \right)=u[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 Do 11.06.2009 | | Autor: | summerlove |
ahh ok..vielen dank..ich glaub ich muss noch seeehr viel lernen
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ist es eigentlich egal mit welcher methode ich die aufgaben löse? ob mit partieller oder mit substitution?
also nochmal zu der 1. aufgabe
wenn [mm] \bruch{1}{\wurzel{u²-1}} [/mm] du
[mm] \bruch{1}{\wurzel{cosh²-1}} [/mm] sinh(x)dx ist folgt doch dann
cosh - sinh(x) dx...oder??
aber in meiner lösung hab ich stehen, dass dies hier rauskommt
1/5 [mm] cosh^4 [/mm] (x) sinh(x) + 4/15 sinh(x) cosh² (x) + 8/15 sinh(x) + c
also ich weiß beim besten willen nicht, wie ich auf dieses ergebnis kommen soll...
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Hallo summerlove,
> ist es eigentlich egal mit welcher methode ich die aufgaben
> löse? ob mit partieller oder mit substitution?
>
Im Prinzip ja.
>
> also nochmal zu der 1. aufgabe
>
> wenn [mm]\bruch{1}{\wurzel{u²-1}}[/mm] du
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{cosh²-1}}[/mm] sinh(x)dx ist folgt doch dann
>
> cosh - sinh(x) dx...oder??
Wir haben hier das Integral
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{u^{5}}{\wurzel{u^{2}-1}} \ du}[/mm]
zu berechnen.
>
> aber in meiner lösung hab ich stehen, dass dies hier
> rauskommt
>
> 1/5 [mm]cosh^4[/mm] (x) sinh(x) + 4/15 sinh(x) cosh² (x) + 8/15
> sinh(x) + c
>
> also ich weiß beim besten willen nicht, wie ich auf dieses
> ergebnis kommen soll...
Vereinfache zunächst den obigen Integranden:
[mm]\bruch{u^{5}}{\wurzel{u^{2}-1}}=u*\bruch{u^{4}}{\wurzel{u^{2}-1}}[/mm]
wobei [mm]\bruch{u^{4}}{\wurzel{u^{2}-1}}[/mm] noch zu vereinfachen ist.
Dann kannst Du dies leichter integrieren.
Gruß
MathePower
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