Integration durch Substitution < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:01 Di 13.09.2005 | | Autor: | Diggler |
Guten morgen,
eine Aufgabe aus einer Klausur von uns lautet:
Integrieren sie durch Substitution!
[mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{ \wurzel{4-x²}}{x²}dx}
[/mm]
bis später
Diggler
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Hallo Dirk,
mmh, die Aufgabe ist ganz schön knifflig, finde ich...
[mm]\integral {\bruch{\wurzel{4-x^2}}{x^2} dx} = \integral{\bruch{2*\wurzel{1-(\bruch{x}{2})^2}*2}{x^2*2}dx}=[/mm]
Jetzt Substitution: [mm] t=\bruch{x}{2} \Rightarrow dt=\bruch{dx}{2}, x^2=4t^2[/mm] Also weiter:
[mm]=\integral{\bruch{\wurzel{1-t^2}}{t^2} dt} = \integral{\bruch{1-t^2}{t^2*\wurzel{1-t^2}} dt} = \integral{\bruch{1}{t^2*\wurzel{1-t^2}} dt} - \integral{\bruch{1}{\wurzel{1-t^2}} dt} =(1)= \bruch{t^2-1}{t*\wurzel{1-t^2}}-\arcsin t [/mm]
Dass das erste Integral bei (1) so ist - Maple hats mir gesagt. Kann man durch Differenzieren überprüfen, aber darauf kommen ist natürlich die andere Sache.... deshalb bin ich nicht so glücklich damit.
Jetzt resubstituieren.
mfg
Daniel
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