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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 So 14.12.2008 | | Autor: | Yuumura |
| Aufgabe | | Allgemeine Integration durch Substitution ohne Aufgabe |
Hi,
Ich muss mir selbstständig erarbeiten, was és mit der Integration durch substitution auf sich hat und versteh dabei so einiges nicht.
Ziel ist es ja hochzuleiten damit wir integrieren können.
Manchmal kann man die Funktion "auseinander" ziehen damit man es kann, z.B wenn es eine summe ist oder ein Produkt.
Ich glaube bei verschachtelten Funktionen muss man die Substitution anwenden.
Und zwar verstehe ich zwar, dass wir eine Hilfsvaiabel einbringen z.B f(x) = [mm] x^2 [/mm] und für [mm] x^2 [/mm] = u schreiben.
Was ich dann noch nachvollziehen kann ist im bruch wo [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] steht was = 2x sein soll, da 2x ja die Ableitung von [mm] x^2 [/mm] ist. Aber dann stelln wir den term um und es soll dx = [mm] \bruch{du}{dx}
[/mm]
sein. Das verstehe ich nun überhaupt nicht ! Denn woher soll ich den werd du kennen (ich weiss garnicht was das sein soll !)
und v.a wie soll ich das mit entsprechenden reelen Zahlen verbinden ??
Es wäre superlieb wenn mir jemand das anhand eines einfachen Beispieles zeigen könnten v.a was du und dx sind (am besten anhand von Zahlen). Ich weiss, dass man in der Mathematik möglichst präzise dinge ausformulieren muss, aber es wär supernett wenn mir jemand das mit einfachen ungenauen worten sagen kann damit ich den Sinn dahinter verstehe und es selbst 1-2 mal anwenden kann.
Ich wette, dann krieg ich es auch hin :)
Vielen Dank im vorraus !
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Hallo Yuumura,
das vorherige Beispiel war nicht wirklich abschaulich gewählt, entschuldige bitte. Wir bestimmen nun eine Stammfunktion zum folgenden Integral mit Hilfe der Substitutionsregel
1.) [mm] \integral_{0}^{x}{(2x-1)^{2}dx}\gdw \integral_{0}^{x}{x^{2}o(2x-1)dx}
[/mm]
2.) Wir substituieren (2x-1) durch u und leiten jene Funktion ab.
[mm] \bruch{du}{dx}=2\gdw dx=\bruch{1}{2}du
[/mm]
(Der Mathematiker sieht diese Umformungen mit den Differentialen nicht gern, aber es funktioniert).
3.) Wir substituieren die Differentiale und ändern die Grenzen folgendermaßen
[mm] \integral_{u(0)}^{u(x)}{x^{2}ou\bruch{1}{2}du}
[/mm]
4.) Vereinfachen liefert
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{-1}^{2x-1}{u^{2}du}
[/mm]
5.) Integrieren und einsetzen liefert
[mm] \bruch{1}{6}((2x-1)^{3}+1)
[/mm]
Natürlich ist auch [mm] \bruch{1}{6}(2x-1)^{3} [/mm] eine Stammfunktion.
Gruß Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 14.12.2008 | | Autor: | Yuumura |
Supetnett danke,
aber ich weiss ja nicht wie ich nach dx umstelln soll wenn ich garnicht was, was dx eigentlich ist in so einer funktion :) Ich weiss nur dass dy/dx die Ableitung darstellt... und woher die 1 kommt also 1 / 2x (die 2x verstehe ich, ist die ableitung) verstehe ich auch nicht :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 So 14.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Schaue dir nochmal meine Antwort an. Ich habe ein anderes Beispiel verwendet. Vielleicht wird es nun klarer.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 So 14.12.2008 | | Autor: | Yuumura |
Heisst das dx / du sind obere und untere grenze ?
Und weil wir keine grenzen festgelegt haben machst du 1 / 2x ?
Oder woher kommt die 1 ?
Mein Problem ist, dass ich leider mit den Begriffen dx, dy etc. allgemein nicht viel anfangen kann weil wir "einfach so" abgeleitet haben ohne diese Begriffe.
Obwohl beim Integrieren ja ein dx meisst hintersteht, dx ist also hochleitung und du die ableitung ? Oder doch nur die Grenze [mm] T_T
[/mm]
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Schaue dir nochmal meine Antwort an. Ich habe es dort an einem anderen Beispiel erklärt. Das andere war etwas unglücklicj gewählt.
dx, bzw. du sind Differentiale. Sie geben dir an, nach welcher Variablen du integrieren, bzw. differenzieren musst.
1.) [mm] \integral_{}^{}{x dx}
[/mm]
hier sollst du nach x integrieren.
2.) [mm] \bruch{df}{dx}, [/mm] mit f(x)=x
hier sollst du in der Funktion f nach x differenzieren.
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Das dx gibt dir an, nach welcher Variablen du integrieren sollst. Bei etwas schwierigeren Integralen sieht man nicht sofort, welche Funktion man geschickterweise substituieren muss.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 So 14.12.2008 | | Autor: | Yuumura |
Aber es muss doch irgendienen Wert darstellen in der Funktion die begriffe dx, du ?
Oder ist das IMMER so, bei der substitution, dass dx = 1 / "die ableitung" darstellt ?
Icbh muss also keine "zahlen" für dx, du etc einsetzen sondern nur diese regel befolgen ?
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Wir betrachten nochmal das obige Beispiel
1.) [mm] \integral_{0}^{x}{(2x-1)^{2}dx}
[/mm]
2.) Wir gehen nun hin und wählen willkürlich (2x-1)=u
3.) Wir bilden nun die Ableitung in der Funktion u nach x und erhalten
[mm] \bruch{du}{dx}=2
[/mm]
4.) Nun wollen wir diese Gleichung nach dem Differential dx umstellen, damit wir es im obigen Integral substituieren können. Wir haben also
4.1) [mm] \integral_{0}^{x}{(2x-1)^{2} dx} [/mm] und
4.2) [mm] dx=\bruch{1}{2}du [/mm]
5.) Nun ersetzen wir das Differential dx im Integral durch den Ausdruck, den wir im Zuge der Ableitung in u nach x erhalten haben und erhalten
[mm] \integral_{u(0)}^{u(x)}{x^{2}ou*\bruch{1}{2} du}
[/mm]
Die Grenzen erhalten wir, in dem wir die ursprünglichen Grenzen in die Funktion u für x einsetzen.
Gruß, Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 So 14.12.2008 | | Autor: | Yuumura |
ah LOL jetzt hab ich die umstellung nach dx verstanden und woher das 1/2 kam -.- moment ich geh das nochmal durch und melde mich dann, danke .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 So 14.12.2008 | | Autor: | Yuumura |
ah ok soweit und was genau setze ich für das "du" ein bzw was genau bedeutet das ?
Danke im vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 So 14.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versuchs noch mal ganz anders mit der Erklärung:
Die Substitutionsregel ist nichts anderes als die Umkehrung der Kettenregel. Nur dass man es nicht immer so leicht sieht.
Nimm ne Funktion f(u) deren Integral du kennst.
[mm] F(u)=\integral{f(u) du}
[/mm]
jetzt hat aber jemand u(x) da eingesetzt:
Dann ist immer noch [mm] F(u(x))=\integral{f(u(x)) dx}
[/mm]
aber du kannst jetzt ja auch F(u(x)) nach x ableiten
dann gilt [mm] :\bruch{dF}{dx}=\bruch{dF}(du)*\bruch{du}{dx} [/mm] oder kurz F'(u(x))=F'_u*u'
deshalb gilt :
[mm] F(u(x))=\integral{\bruch{dF}(du)*\bruch{du}{dx}}=\integral{f(u) du}
[/mm]
Wenn du also sagen wir [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{1-x} dx} [/mm] hastkannst du überlegen wie du das als F'_u*u' schreiben könntest. mit u=1-x hättest du [mm] \wurzel{u} [/mm] als F'_u aber es fehlt noch u' u'=-1 hier. also kannst du dann schreiben :
[mm] \integral{\wurzel{1-x} dx}=\integral{\wurzel{u}*(-1) du}
[/mm]
weil du ja jetzt nach u integrierst.
statt jetzt [mm] \bruch{du}{dx}*dx [/mm] hinzuschreiben kürzt man (um das u' aus der Kettenregel nicht zu vergessen ) symbolisch : [mm] \bruch{du}{dx}*dx
[/mm]
In Wirklichkeit suchst du nur, wie du unter dem Integral ne Funktion f(u) hinkriegst, die du integrieren kannst und benutzt dabei im Hintergrund das Wissen um die Kettenregel!
Ich hoffe damit ist es wenigstens klar, woher das du kommt es ist wirklich nichts anderes als [mm] \bruch{du}{dx}*dx [/mm] dieser Ausdruck verkürzt aufgeschrieben.
Gruss leduart.
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