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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Do 14.06.2007 | | Autor: | taikahn |
Hallo!
Ich habe heir folgende Aufgabenstellung: Durch den Viertelkreis [mm] x^2+y^2=r^2 [/mm] und y=3^(1/2) soll die Fläche bestimmt werden welche von dne 2 Graphen und der x achse eingeschlossen wird. Ich habe schon Probleme beim integral aufstellen..Ich würde heir mal meine Vorgehensweise erläutern um es zu lösen. Hoffe ihr könnt mir dann Tipps oder andere vorschalge geben wie man soclhe aufgaben lößt!
Als erstes habe ich mir gedacht um die Fläche zu ermitteln bestimme ich von beiden Graphen den Schnittpunkt. Dann intergire ich y=3^(1/2) bis zu der grenze und habe damit die erste Teilfläche. Dann würde ich [mm] x^2+y^2=r^2 [/mm] integiren von dem Schnittpunkt aus bis zu dme Punkt wo der kreis die x achse schneidet.ISt das möglich??? Vielen Dank!!!
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Hi, taikahn,
> Ich habe heir folgende Aufgabenstellung: Durch den
> Viertelkreis [mm]x^2+y^2=r^2[/mm] und y=3^(1/2) soll die Fläche
> bestimmt werden welche von dne 2 Graphen und der x achse
> eingeschlossen wird. Ich habe schon Probleme beim integral
> aufstellen..Ich würde heir mal meine Vorgehensweise
> erläutern um es zu lösen. Hoffe ihr könnt mir dann Tipps
> oder andere vorschalge geben wie man soclhe aufgaben lößt!
>
> Als erstes habe ich mir gedacht um die Fläche zu ermitteln
> bestimme ich von beiden Graphen den Schnittpunkt.
Den gibt's aber nicht für jedes r! Ist der Radius des Kreises denn nicht bekannt? Oder ist wenigstens r > [mm] \wurzel{3} [/mm] vorgegeben?
> Dann integriere ich y=3^(1/2) bis zu der grenze
Das brauchst Du doch gar nicht! y = [mm] 3^{1/2} [/mm] oder y = [mm] \wurzel{3} [/mm] ist eine waagrechte Gerade; demnach das von Dir beschriebene Flächenstück ein Rechteck - das berechnet man ohne Integralrechnung!
> und habe damit die erste Teilfläche. Dann würde ich [mm]x^2+y^2=r^2[/mm] integiren
> von dem Schnittpunkt aus bis zu dme Punkt wo der kreis die
> x achse schneidet.ISt das möglich??? Vielen Dank!!!
Ja! Aber Du musst die Kreisgleichung nach y auflösen (ergibt einen Wurzelterm). Der "Punkt, wo der Kreis die x-Achse schneidet" ist natürlich r.
Aber wie oben bereits erwähnt:
Das alles macht nur Sinn für r > [mm] \wurzel{3}.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Do 14.06.2007 | | Autor: | taikahn |
Hallo!
Sry ich hatte mich bei der einen Funktion verschrieben. Die kreisfunktion ist richtig aber die andere muss heißen y= 3^(1/2)*x!! Desweitern ist in der aufgabenstellung kein r gegeben.... es steht nur da (x>=0,y>=0).. Nützt das irnedwie mehr???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Do 14.06.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, taikahn,
jetzt geh' ich aber "auf Nummer Sicher"!
Heißt es y= [mm] \wurzel{3}*x [/mm] oder y = [mm] 3^{1/2*x} [/mm] ??
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Do 14.06.2007 | | Autor: | taikahn |
es sit der erste ausdrucl von den beiden!!!!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Do 14.06.2007 | | Autor: | JulianB |
Ich würde das ganze nicht über ein integral lösen, vor allem nicht den ersten Abschnitt, das ist nämlich ein Rechteck, wenn ich dich richtig verstanden habe, der y-Wert des Schnittpunktes ist [mm][mm] \sqrt3[/mm] [mm], der x-Wert ist nach Pythagoras [mm][mm] \sqrt{r²-3}[/mm] [mm]
die Fläche des übrigen Abschnittes ist ein halbes Kreissegment, dafür kannst du unter http://de.wikipedia.org/wiki/Kreisabschnitt eine Formel finden, ich würde die nehmen für die du nur h und s benötigst (wie dort angegeben), an die kommst du mit ein wenig knobeln recht leicht, ich denke schneller als an den Winkel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 Do 14.06.2007 | | Autor: | taikahn |
----------Die Zweite Funktion muss heißen y= 3^(1/2) *x!!!!!!!!!!!!!!!!! Sehr wichtig!!!!!!!!!!!!!!!!!!--------
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Do 14.06.2007 | | Autor: | taikahn |
Jetzt stimmt alles! Könnt ihr mir weiter helfen?Danke
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Hi, taikahn,
also von vorne:
die von Dir gesuchte Fläche liegt zunächst unterhalb einer Ursprungsgeraden und ab dem Schnittpunkt unterhalb des Kreisbogens.
Wie Julian bereits richtig geschrieben hat, handelt es sich somit um einen Kreissektor.
(Nur weiß ich nicht, wieso Julian zunächst den doppelten Sektor nehmen möchte!)
Du musst also zunächst den Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis rauskriegen. Dazu löst Du die Kreisgleichung nach y auf und setzt mit der Geraden gleich. (Zum Vergleich: Ich erhalte: x=0,5*r)
Nun verwende ich Julians Methode.
Über die Steigung der Geraden und die bekannte Tatsache, dass m = [mm] tan(\alpha), [/mm] erhältst Du den Mittelpunktswinkel, nämlich: [mm] \alpha [/mm] = 60°.
Demnach handelt es sich bei der gesuchten Fläche um einen "Sechstelkreis", weswegen F = [mm] \bruch{1}{6}*r^{2}*\pi [/mm] gilt.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 Do 14.06.2007 | | Autor: | JulianB |
Also, den Winkel kriegst du natürlich ganz Leicht aus der Tatsache, dass die Steigung der Geraden [mm][mm] \sqrt3[/mm] [mm], dafür musste nichtmal den Schnittpunkt berechnen oder Ähnliches (hab ich eben Blödsinn geschrieben) und der ist [mm]60°[mm],wie Erwin geschrieben hat. Nun hast du allerdings nicht das Segment, sondern nur ein halbes Segment (Zeichnung hilft), ein ganzes Segment erhälst du durch eine weitere Gerade mit Steigung [mm][mm] -\sqrt3[/mm] [mm], dieses Segment hat dann einen Winkel von [mm]120°[mm] und davon berechnest du die Fläche und halbierst den Wert, da die x-Achse dieses Segment genau halbiert. Wenn du direkt mit [mm]60°[mm] rechnest kommt ein etwas anderes Ergebniss raus, da du da nicht mit der Formel für ein Segment rechnen dürftest 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Fr 15.06.2007 | | Autor: | JulianB |
Sry, ich bin müde und schreibe grad ziemlichen Blödsinn, natürlich ist dies ein Kreissegment mit Radius r und einem Winkel von 60°...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 Fr 15.06.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Julian,
> Sry, ich bin müde
Kein Wunder: Um die Uhrzeit! 
> natürlich ist dies ein Kreissegment mit Radius r und einem
> Winkel von 60°...
Wenn's ein "Segment" wäre, hättest Du sogar recht gehabt, dass es nur ein halbes ist. Aber es ist ein Sektor - naja, what shall's: Uhrzeit!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Fr 15.06.2007 | | Autor: | taikahn |
Hallo!
das Habe ich soweit verstanden. Nun gibt es einweiteres Problem. Ich soll das Volumen berechnen... Die formel habe ich ja aber ic hweiß leidern ciht was ich für f(x) einsetzen sollte. Könnt ihr mir helfen??
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Hi, taikahn,
also wenn ich Dich richtig verstanden habe, sollst Du das Volumen des Kugelsektors bestimmen, der bei Rotation des oben berechneten Kreissektors um die x-Achse entsteht?
Nun: Dafür findest Du in der Formelsammlung die Formel:
V = [mm] \bruch{2}{3}*r^{2}*\pi*h,
[/mm]
wobei h in unserem Fall [mm] \bruch{1}{2}*r [/mm] ist (Berechnung von h siehe in meiner gestrigen Antwort: Schnittpunkt zwischen der Geraden und dem Kreisbogen!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Fr 15.06.2007 | | Autor: | taikahn |
Hallo!!!
Vielen Dank für deine ANtwort. Aber ich habe nun immernoch ein Problem. UNd zwar die Formel ist ja auch shcön und gut aber ich habe ja auch heir die Formel um das Volumen bei der Rotation zuberechen. Mir ist jetzt nur fraglich ob diese Formel f(x) ist und ob ich dies integrien muss!? Das integral lautet ja:
[mm] Vx=\pi*\integral_{x1}^{x2}{y^2 dx}
[/mm]
Ist das richtig?UNd muss ich für f(x) halt die Fomel einsetzen?Danke dir!!!!
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Hi, taikahn,
naja, wenn Du's lieber mit Hilfe des Integrals lösen willst, musst Du das Volumen in 2 Teile zerlegen:
V = [mm] \pi*\integral_{0}^{0,5r}{3*x^{2}dx} [/mm] + [mm] \pi*\integral_{0,5r}^{r}{(r^{2}-x^{2}) dx}
[/mm]
Natürlich kommt dann dasselbe raus wie bei meinem ersten Vorschlag!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Sa 16.06.2007 | | Autor: | taikahn |
Hallo!
OK zerlegen ist mir klar auch die Grenzen. Aber was muss ich denn in dem INtegral für y einsetzen?? Du hast da auch 2 Terme wo kommen die her??Muss ich nicht für y die VolumenForeml nehmen? Oder muss ich rein mal die Grundformel für die eine gerade nehmen udn dann noch für das Stückenchen kreis dort??Wo hast du eigentlich dne Term 3^(1/2) * x gelassen??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Sa 16.06.2007 | | Autor: | taikahn |
Hoer nochmal wie ic hdas Integral meine.
[mm] V=\Pi*\integral_{0}^{0,5r}{\wurzel{3}*x dx}+\Pi*\integral_{r}^{0,5r}{\wurzel{r^2-x^2} dx}
[/mm]
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Hi, taikahn,
> [mm]V=\Pi*\integral_{0}^{0,5r}{\wurzel{3}*x dx}+\Pi*\integral_{r}^{0,5r}{\wurzel{r^2-x^2} dx}[/mm]
In der Formel steht doch [mm] y^{2}!!! [/mm] Nicht y!
Also: Aus [mm] y=\wurzel{3}*x [/mm] wird [mm] 3x^{2}
[/mm]
und aus [mm] y=\wurzel{r^{2}-x^{2}} [/mm] wird [mm] (r^{2}-x^{2}).
[/mm]
Und nun vergleich' nochmal mit meiner obigen Antwort!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mo 18.06.2007 | | Autor: | taikahn |
Ah ok!! danke habe das nciht gesehn! Ja ist klar! Hastr du dann eventuell noch ne Ahnung wie ic hdie Mantelfläcjhe die bei der Rotatain entsthet berechenn kann?Ich habe ja nur wieder dieses eine integral und ich sthe wieder vor der frag was ich für y einsetze.. Nehme ich wieder halt die 2 Teile Stücke und leitet die sozusange ab,sprich [mm] y=\wurzel{3}*x [/mm] + [mm] \wurzel{r^2-x^2} [/mm] oder soltle ich den ersten Term extra berechenen und anschließend den 2ten und dann beide Teilflächen am ende addieren? Das integral für die Mantelfläche lautet:
[mm] Am=2*\pi\integral_{x1}^{x2}{y*\wurzel{1+y'^2} dx}
[/mm]
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Hi, taikahn,
wenn's denn unbedingt das Integral sein soll (mit Formeln aus der Geometrie gehts auch hier wieder einfacher),
dann musst Du die beiden Teile wieder trennen:
von 0 bis r/2 musst Du [mm] y=\wurzel{3}*x [/mm] nehmen, von r/2 bis r die Wurzelfunktion.
mfG!
Zwerglein
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