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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Nickles |
| Aufgabe | | Berechnen Sie für a > 0 das Integral [mm] \int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm e^{-ax^2} \mathrm dx [/mm] |
Hallo,
in einer Voraufgabe habe ich schon das Integral [mm] I(R) := \iint\limits_{x^2+y^2 \le R^2} \mathrm e^{-a(x^2+y^2)} \mathrm dx\mathrm dy [/mm] bestimmt.
Als Lösung habe ich dabei herausbekommen [mm] \bruch{\pi}{a} (1- \mathrm e^{-aR^2}) [/mm]
Jetzt habe ich mir bei dem neuen Integral gedacht ich könnte das auf dieselbe Weise berechnen.
Bin aber zu keiner Lösung gekommen.
Im Lösungsweg wird nun angegeben , das [mm] \int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm e^{-ax^2} \mathrm dx = \sqrt{\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm e^{-ax^2} \mathrm dx \int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm e^{-ay^2} \mathrm dy } = \sqrt{\iint\limits_{\mathbb R^2} \mathrm e^{-a(x^2+y^2)} \mathrm dx \mathrm dy} = \sqrt{\bruch{\pi}{a}} [/mm]
Hier liegt nun leider das Ende meines Verständnisses.
Wie wird hier aus [mm] \int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm e^{-ax^2} \mathrm dx \rightarrow \sqrt{\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm e^{-ax^2} \mathrm dx \int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm e^{-ay^2} \mathrm dy } [/mm] generiert?
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Sa 18.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie für a > 0 das Integral
> [mm]\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm e^{-ax^2} \mathrm dx[/mm]
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> Hallo,
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> in einer Voraufgabe habe ich schon das Integral [mm]I(R) := \iint\limits_{x^2+y^2 \le R^2} \mathrm e^{-a(x^2+y^2)} \mathrm dx\mathrm dy[/mm]
> bestimmt.
>
> Als Lösung habe ich dabei herausbekommen [mm]\bruch{\pi}{a} (1- \mathrm e^{-aR^2})[/mm]
>
>
> Jetzt habe ich mir bei dem neuen Integral gedacht ich
> könnte das auf dieselbe Weise berechnen.
>
> Bin aber zu keiner Lösung gekommen.
>
> Im Lösungsweg wird nun angegeben , das
> [mm]\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm e^{-ax^2} \mathrm dx = \sqrt{\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm e^{-ax^2} \mathrm dx \int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm e^{-ay^2} \mathrm dy } = \sqrt{\iint\limits_{\mathbb R^2} \mathrm e^{-a(x^2+y^2)} \mathrm dx \mathrm dy} = \sqrt{\bruch{\pi}{a}}[/mm]
>
>
> Hier liegt nun leider das Ende meines Verständnisses.
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> Wie wird hier aus [mm]\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm e^{-ax^2} \mathrm dx \rightarrow \sqrt{\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm e^{-ax^2} \mathrm dx \int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm e^{-ay^2} \mathrm dy }[/mm]
> generiert?
Hall,
das ist simpel. Es ist nun mal Q= [mm] \wurzel{Q*Q} [/mm] (Q stehlt hier für das zu berechnende Integral).
Dann hat man lediglich im zweiten Integral die Variable x durch eine Variable y ersetzt. Das ist lediglich eine Frage der Bezeichnung, die nichts am Wert des Integrals ändert.
Gruß Abakus
>
>
> Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Nickles |
Ah danke sehr für die Antwort!
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