Integration einer ln-Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 So 13.03.2005 | | Autor: | Reiskorn |
Hallo!
Und zwar will ich folgende Funktion integrieren:
x*ln(x²/a)
Hab mir gedacht, ich substituiere x² mit z.
Komm dann aber mit der Verkettung irgendwie nicht weiter. Kann mir das jmd. noch mal richtig erklären. Wie man das bei verketteten Funktionen macht. Wäre echt supi.
ciao.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 So 13.03.2005 | | Autor: | McBlack |
Hallo Reiskorn! (<-- toller Name übrigens)
Ich könnte dir einen anderen Vorschlag für die Integration machen, ohne Substitution:
Die Funktion kann man folgendermaßen umschreiben:
[mm] f(x)=x*ln\left( \bruch{x^2}{a} \right)=x*(lnx^2-lna)=x*lnx^2-x*lna [/mm]
Für das Integral ergibt sich dann:
[mm] \integral f(x)dx=\integral (x*lnx^2-x*lna)dx=\integral (x*lnx^2)dx -\integral (x*lna) dx [/mm]
Nun rechnen wir das erste Integral in einer Nebenrechnung per partieller Integration:
[mm] \integral ( \underbrace{x}_{=u'(x)}* \underbrace{lnx^2}_{=v(x)})dx=\bruch{1}{2}x^2*lnx^2-\integral \left ( \bruch{1}{2}x^2*\bruch{1}{x^2}*2x \right ) dx=\bruch{1}{2}x^2*lnx^2-\integral x dx=\bruch{1}{2}x^2*lnx^2-\bruch{1}{2}x^2=\bruch{1}{2}x^2(lnx^2-1) [/mm]
Im zweiten Integral ist [mm] lna [/mm] ein konstenter Faktor somit ergibt sich:
[mm] \integral (x*lna)dx=lna*\integral xdx=lna*\bruch{1}{2}x^2
[/mm]
...und nun zusammen:
[mm] \integral f(x)dx=\integral (x*lnx^2-x*lna)dx=\integral (x*lnx^2)dx -\integral (x*lna) dx=\bruch{1}{2}x^2(lnx^2-1)-lna*\bruch{1}{2}x^2=\bruch{1}{2}x^2(lnx^2-1-lna) [/mm]
Ich hoffe ich konnte dir ein bisschen helfen.
Gruß McBlack
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Di 15.03.2005 | | Autor: | Reiskorn |
Hi!
Danke erstmal, aber das nützt mir in dem Fall nix, weil wir das anders gemacht haben und zwar mit dem Hinweis: Integral von lnx dx= x*(ln x-1)+c
So jetzt ist das ja eigentlich easy:
z/a*(ln(z/a)-a)*1/1/a
So aber das 1/1/a also a hinten versteh ich ni. Wo kommt das her? Das hat doch was mit der verketten Funktion zu tun. Wie integriert mein eine solche???
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Hallo.
> Integral von lnx dx= x*(ln x-1)+c
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> So jetzt ist das ja eigentlich easy:
> z/a*(ln(z/a)-a)*1/1/a
>
> So aber das 1/1/a also a hinten versteh ich ni. Wo kommt
> das her? Das hat doch was mit der verketten Funktion zu
> tun. Wie integriert mein eine solche???
Das versteh ich allerdings nicht.
Habt ihr die Substitutionsregel schon gemacht?
Dann kann man das nämlich so lösen:
[mm] $\integral x*\ln\frac{x^2}{a}\,dx=\integral x\ln{x^2}-x\ln{a}\,dx$
[/mm]
[mm] $=-\frac{\ln{a}}{2}x^2+\integral x\ln{x^2}\,dx$
[/mm]
Das Integral rechts können wir mit Hilfe der von dir vorgeschlagenen Substitution lösen: [mm] $z:=x^2 \Rightarrow dx=\frac{dz}{2x}$.
[/mm]
Das in unser Integral eingesetzt, ergibt Folgendes:
[mm] $\integral x\ln{x^2}\,dx=\integral x\ln{x^2}*dx*\frac{dz}{2x}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\integral \ln{z}\,dz=\frac{1}{2}*(z\ln{z}-z)=\frac{1}{2}*(x^2\ln{x^2}-x^2)$.
[/mm]
Zusammengesetzt ergibt das folgendes Endergebnis:
[mm] $\integral x*\ln\frac{x^2}{a}\,dx=-\frac{\ln{a}}{2}x^2+\integral x\ln{x^2}\,dx$
[/mm]
[mm] $=-\frac{\ln{a}}{2}x^2+\frac{1}{2}*(x^2\ln{x^2}-x^2)=\frac{x^2}{2}(\ln{x^2}-1-\ln{a})$
[/mm]
[mm] $=\frac{x^2}{2}(\ln{\frac{x^2}{a}}-1)$
[/mm]
Auf kürzerem Wege geht es meiner Meinung nach nicht, denn, wie man bei McBlacks Antwort schon sieht, ist der Weg mit partieller Integration genauso lang. Man könnte das höchstens noch abkürzen, indem man [mm] $\ln{x^2}=2\ln{x}$ [/mm] benutzt, aber das vereinfacht auch nicht viel.
Gruß,
Christian
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