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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:54 Do 17.01.2013 | | Autor: | sandy2836 |
| Aufgabe | 1) Berechnen Sie das Flüssigkeitsvolumen in einem Weinglas, das bis zur
Höhe h gefüllt ist. Das Glas soll die Form einer Halbkugel haben, deren
Radius sei R = 1.
Das Volumen der Kugelkalotte bis zur Höhe h soll numerisch durch Integration über
schmale Kreisscheibchen bestimmt werden, und zwar
a) nach der Trapezregel.
b) nach der Simpson’schen Regel.
c) Zum Vergleich soll die Formel
V = π/3 * [mm] h^2 [/mm] *(3R-h)
herangezogen werden, die das Volumen einer Kugelkalotte exakt liefert.
Schreiben Sie ein M-Script für die Trapez- und Simpson’sche Regel. Es sollen die
beiden Grenzen des Integrals, die Funktion und die Anzahl der Stützstellen
eingegeben werden. Die Ausgabe ist der dazugehörige Wert der Regel. Stellen Sie
das Ergebnis in einer Graphik so dar, dass im oberen Teil das Volumen V(h) als
Funktion von h für die drei Verfahren durch farbige Linien dargestellt wird. Im unteren
Teil der Graphik ist der Fehler in Abhängigkeit von der Anzahl der Stützstellen
aufzutragen. |
Ich habe die M-Scripte zur Trapez- und zur Simpson’schen Regel in MATLAB geschrieben und diese funktionieren auch.
Allerdings bin ich mir unsicher welche Funktion ich für das Weinglas zu Grunde legen soll um dann das Integral über Simpson bzw. Trapez zu berechnen.
Die angegebene Formel V liefert ja bereits das exakte Volumen. Es macht also wahrscheinlich wenig Sinn hier irgend was zu integrieren.
Bin dann von folgender Überlegung ausgegangen:
Die der Aufgabenstellung zu Grunde liegende Form ist eine Halbkugel mit dem Radius r=1. Eine Kugel entsteht durch Rotation der Kreisfläche um die x-Achse. Das Zentrum liegt im Nullpunkt. Zur Bestimmung des Volumens ist die Querschnittsfläche Q(x) zu integrieren. Diese ist bei einer Kugel stets ein Kreis.
nach Pythagoras gilt [mm] r^2 [/mm] = [mm] x^2+f(x)^2. [/mm] Nach f(x) aufgelöst ergibt dies f(x) = [mm] r^2-x^2. [/mm] Da es sich um einen Rotationskörper handelt erhält man die Formel
Q(x) = [mm] π(f(x))^2 [/mm] = [mm] π(r^2-x^2)“
[/mm]
Als zu integrierende Funktion habe ich
Q(x) = [mm] \pi (f(x))^2 [/mm] = π [mm] (r^2-x^2) [/mm] verwendet.
Da r=1 gegeben war habe ich f(x)= [mm] π(1-x^2) [/mm] verwendet.
Verschiebt man diese nun um 1 nach rechts auf der X-Achse erhält man:
F(x)= π – [mm] π(x-1)^2
[/mm]
Hier kann ich nun die Integrationsgrenzen x=0 bis x=h verwenden und komme so auch auf das Volumen das die Formel V liefert.
Mein Problem: Die Simpsonregel liefert für Polynome <= 3. Ordnung exakte Ergebnisse. Daher kann ich den Fehler nicht untersuchen, was aber in der Aufgabenstellung gefordert ist.
Hat jemand eine Idee, wo mein Denkfehler liegt?
Verwende ich die falsche Funktion F(x)?
Vielen Dank schon mal vorab für Eure Hilfe!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.fernstudenten.de/viewtopic.php?f=39&t=66330]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Do 17.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Festzustellen, dass ein Fehler 0 ist ist auch eine Fehlerrechnung!
Gruss leduart
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Ja, allerdings gab mir der betreuende Professor den Hinweis, dass ein Fehler herauskommen muss.
Daher ist meine Vermutung, dass ich die falsche Funktion verwende.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Do 17.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Funktion ist sicher richtig, der einyig moegliche Fehler kommt durch die Division durch 3, die im computer natuerlich abbricht. wenndu mit mehr als einem Schritt rechnest, was bei Simpson natuerlich nicht sinnvoll ist, addieren sich die Rundungsfehler auf. ich kannmir nicht denken, dass dasgemeint ist. vielleicht bezieht es sich nur auf die Trapezregel.
da du sowieso ein programm hast, kannst du jamal mit 100 oder 1000 Schritten rechnen und mit dem 1 Schritt Ergebnis vergleichen_
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:19 Fr 18.01.2013 | | Autor: | sandy2836 |
Hallo,
Mit 1000 Schritten kommt das selbe raus als bei einem Schritt.
Aber macht ja Sinn, wenn die simpsonregel für Polynome bis 3ter Ordnung
Exakte Ergebnisse liefert.
Gibt es eventuell einen anderen Ansatz für die Funktion, die ich integriere?
Könnte ich diese in ein Polynom 4ter Ordnung umschreiben?
Danke für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Fr 18.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
bitte stell nicht einfach die erste Frage auf unbeantwortet, sondern stell neue Fragen.
eine andere und damit falsche fkt aufzustellen ist doch recht sinnlos. Hat dein Prof explizit gesagt, bei Simpson muss ein Fehler rauskommen? Dann war er in Eile und hat sich vertan, oder du hast ihn falsch verstanden.
bei 1000 Schritten kannst du nur einen Unterschied erwarten, wenn du alle Stellen ausgibst, mit denen matlab rechnet!und in dem hinteren Bereich liegt der Fehler!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Fr 18.01.2013 | | Autor: | sandy2836 |
Hallo Leduart,
Entschuldige, bin neu in diesem Forum.
Ja, mein Prof verwirrt mich auch. Insbesondere ist super, dass er seit einer Woche nicht mehr auf Email reagiert.
Naja ich hab seine Aussage auf jeden Fall schriftlich.
Ich hatte ihm geschrieben und er hat kommentiert:
Mein Email:
Ich habe für die Funktion ein Rotationskörper zugrunde gelegt. Im Assignment habe ich dazu geschrieben:
„Die der Aufgabenstellung zu Grunde liegende Form ist eine Halbkugel mit dem Radius r=1. Eine Kugel entsteht durch Rotation der Kreisfläche um die x-Achse. Das Zentrum liegt im Nullpunkt. Zur Bestimmung des Volumens ist die Querschnittsfläche Q(x) zu integrieren. Diese ist bei einer Kugel stets ein Kreis. Wie in Abbildung X zu erkennen, gilt nach Pythagoras [mm] r^2=x^2+f(x)^2. [/mm] Nach f(x) aufgelöst ergibt dies [mm] fx=r^2-x^2. [/mm] Da es sich um einen Rotationskörper handelt erhält man die Formel
[mm] Qx=π(f(x))^2=π(r^2-x^2)“
[/mm]
Als zu integrierende Funktion habe ich [mm] Qx=π(f(x))^2=π(r^2-x^2) [/mm] verwendet.
Da r=1 gegeben war habe ich [mm] π(1-x^2) [/mm] verwendet.
Sein Kommentar dazu war:
"Ihre Integrationsgrenzen müssten dann von x = -1 bis x = h-1 laufen, d.h. Sie müssen das noch Verschieben, dass Sie bei x= 0 starten. Wie lautet dann die Formel?
Dann überlegen Sie sich was der Fehler der Simpsonregel wäre?"
Daraufhin habe ich die Funktion wie gewünscht verschoben und schreibe ihm folgende Funktion/Mail zurück:
F(x)= π – [mm] π(x-1)^2 [/mm]
Jetzt muss ich die Integrationsgrenzen x=0 bis x=h verwenden, richtig?
Aber für das Integral kommt doch in Summe das selbe raus, ich verschiebe ja nur die Funktion und dementsprechend die Integralgrenzen..?
Keine Antwort bis dato. Und einen Fehler in der Simpson-Regel kann ich leider nach wie vor nicht erkennen.
Kann man aus seinem Kommentar lesen, dass er sich in Eile vertippt hat oder ich es nur nicht verstehe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Sa 19.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallp
@Dann überlegen Sie sich was der Fehler der Simpsonregel wäre?"
heisst genau wie ich dachte, du sollst ermitteln was der Fehler wäre und deine Ermittlung führt auf den richtigen Wert : kein Fehler.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:50 Mo 21.01.2013 | | Autor: | sandy2836 |
Hallo Leduart,
Langsam fange ich an zu verstehen :)
Mein Prof hat mir mittlerweile geantwortet, wenn auch wieder etwas zweideutig.
Ich hatte geschrieben:
Mittlerweile verstehe ich warum ich bei der Simpson-Regel keinen Fehler sehe, da ich ein Polynom 2ter Ordnung verwende und die Simpson Regel für Polynome bis 3ter Ordnung EXAKTE Ergebnisse liefert.
Seine Antwort: das haben Sie richtig erkannt. Daher liefert die Simpsonregel, das exakte Resultat.
Meine weitere Frage im Text der Mail:
Daraus schließe ich, dass die Funktion F(x)= π – [mm] π(x-1)^2 [/mm] nicht korrekt ist, bzw. ich eine andere Funktion zur Näherungsweise Berechnung des Integrals verwenden sollte.
Sein Kommentar:
Wie kommen Sie darauf?
Diese Funktion können Sie elementar integrieren, d.h. Integral F(x) von 0 bis h. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der Angabe in der Aufgabenstellung. Sie sollten das gleiche Ergebnis erhalten. Also muss wohl der Fehler wo anders liegen.
Wenn ich jetzt seine Email so deute, wie du auch geschrieben hast, ist das Ergebnis einfach nur: "Die Simpson Regel liefert für dieses Polynom das exakte Ergebnis". Und mehr ist gar nicht von mir gefordert, oder?
Vielen Dank für Deine Hilfe!
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