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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Di 27.03.2007 | | Autor: | Sascha88 |
| Aufgabe | | Könntet ihr mir bei der Integration von f(x) = [mm] \wurzel{x-1} [/mm] x^-1 helfen? |
Schreibt mir bitte die genauen Lösungswege auf! Vielen Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
ist die Funktion [mm] $f(x)=\sqrt{x-1}*x^{-1}$ [/mm] ?
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Di 27.03.2007 | | Autor: | Sascha88 |
Ja diese funktion ist gemeint
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Hallo Sascha,
mir ist leider nichts einfacheres eingefallen als das:
probiere es mal mit der Substitution [mm] \tan(u)=\sqrt{x-1}, [/mm] also [mm] u=\arctan(\sqrt{x-1}) [/mm]
[mm] \Rightarrow x=\tan^2(u)+1 [/mm] und
[mm] \frac{du}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x-1}^2+1}\cdot{}\frac{1}{2\cdot{}\sqrt{x-1}}\Rightarrow dx=x\cdot{}2\cdot{}\sqrt{x-1}\cdot{}du=(\tan^2(u)+1)\cdot{}2\cdot{}\tan(u))\cdot{}du
[/mm]
Damit ist [mm] \int{\frac{\sqrt{x-1}}{x}dx}=\int{\frac{\tan(u)}{\tan^2(u)+1}\cdot{}2(\tan^2(u)+1)\cdot{}\tan(u)du}=2\cdot{}\int{\tan^2(u)du}
[/mm]
Kommste damit nen Schritt weiter?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Di 27.03.2007 | | Autor: | Sascha88 |
Also das eigentliche Integral, dass ich integriert habe war tan²x. Ich bin dann nach Substitution auf dieses Integral gekommen und wollte einfach mal wissen wie man es ab da weiter ausrechnet.
Für tan²x gibt es zwar einen viel einfacheren Weg, aber ich hab mir gedacht, dass ich einfach mal einen 2ten Weg probiere und komme mit dieser funktion irgendwie nicht weiter. Eigentlich stand vor dem Integral der Funktion noch ein 1/2 damit kommt man dann wie du es gezeigt hast auf tan²x.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Di 27.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ne, dein substituiertes Integral loest man mit der Ruecksubstitution.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Di 27.03.2007 | | Autor: | Sascha88 |
Man müsste dann aber ja wieder auf tan(x) - x kommen und genau auf das Ergebnis komme ich nicht, wenn ich versuche dieses Integral zu integrieren. Selbst mit Resubstituion komm ich ja wieder auf tan²x.
Gruß Sascha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Di 27.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh die Frage nicht: mit resubst kommst du wieder auf tan^2x, wieso solltest du auf das Integral selbst kommen. und [mm] tan^2 [/mm] kannst du integrieren.
irgendwie ist was unklar!
Nochmal: fuer dein Integral mit der Wurzel gibts fast sicher keinen Weg es zu loesen, der nicht ueber tan geht!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Di 27.03.2007 | | Autor: | Sascha88 |
Also ist das Integral nicht ohne über den tan(x) zu gehen lösbar?
Ich habe halt versucht tan²(x) anders zu lösen als mit dem herkömmlichen weg 1+tan(x)= sec(x). Habe bis jetzt aber noch keinen anderen Weg gefunden.
Wenn du aber sagst, dass ich über tan(x) gehen muss, komme ich da dann wohl nicht weiter und muss doch die herkömmliche Variante nehmen.
gruß Sascha
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Wenn du sagst, dass du ursprünglich [mm] \int{\tan^2(x)dx} [/mm] bestimmen wolltest, so gibt es einen relativ simplen Weg mit ner einfachen Substitution ohne Wurzeln und Gedöhns
Dazu musste nur das Integral [mm] \int{\tan^2(x)dx} [/mm] etwas umschreiben:
[mm] \int{\tan^2(x)dx}=\int{(\tan^2(x)\red{+1-1})dx} [/mm] eine "nahrhafte Null" addiert
[mm] =\int{\tan^2(x)+1dx}-\int{1dx}
[/mm]
Substituiere nun im ersten Integral wie folgt:
[mm] u:=\tan(x)\Rightarrow x=\arctan(u)\Rightarrow \bruch{dx}{du}=\bruch{1}{u^2+1}\Rightarrow [/mm] du=.....
Dann ergibt sich ein wunderbar einfaches Integral 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Di 27.03.2007 | | Autor: | Sascha88 |
Danke erstmal für deine Mühe. Ich kann den letzten schritt bloß nicht ganz nachvollziehen.
als 1. ersetzt du tan(x) für u , dann stellst du es nach x um und leitest es ab
dann haben wir du= u² +1 dx
wie heißt dann das noch zu integrierende Integral?
Ich kenn es nur so, dass man sagt u= tan(x) und dann sagt man du/dx =.....
Bin grad ein wenig verwirrt durch die extra umstellung von u =tan(x) nach x=arctan(x). Wozu macht man das und lässt es nicht einfach u=tan(x)???
Danke
Gruß Sascha
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> Danke erstmal für deine Mühe. Ich kann den letzten schritt
> bloß nicht ganz nachvollziehen.
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> als 1. ersetzt du tan(x) für u , dann stellst du es nach x
> um und leitest es ab
> dann haben wir du= u² +1 dx
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> wie heißt dann das noch zu integrierende Integral?
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> Ich kenn es nur so, dass man sagt u= tan(x) und dann sagt
> man du/dx =.....
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> Bin grad ein wenig verwirrt durch die extra umstellung von
> u =tan(x) nach x=arctan(x). Wozu macht man das und lässt es
> nicht einfach u=tan(x)???
>
> Danke
>
> Gruß Sascha
Jo hi,
wenn du mit [mm] u=\tan(x) [/mm] sofort [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] bildest, erhältst du ja:
[mm] \frac{du}{dx}=\frac{1}{\cos^2(x)}\Rightarrow dx=\cos^2(x)du
[/mm]
Da hast du also alle beiden Variablen x und u in der substituierten Version.
Da mit [mm] u=\tan(x)\Rightarrow x=\arctan(u) [/mm] folgt, ergibt sich für dx ein Ausdruck, in dem nur die neue Variable u steht.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Di 27.03.2007 | | Autor: | Sascha88 |
aso ok. Also müsste doch danach dort stehen:
integral von ... tan²x +1 dx wird dann substituiert und es steht da
u²+1 * du/u²+1 = integral du -> u -> resubstitution -> tan(x)
dazu nehmen wir noch dein - intregral dx und wir müssten tan(x) - x haben oder???
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> aso ok. Also müsste doch danach dort stehen:
>
> integral von ... tan²x +1 dx wird dann substituiert und es
> steht da
>
> u²+1 * du/u²+1 = integral [mm] \red{1} [/mm] du -> u -> resubstitution ->
> tan(x) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> dazu nehmen wir noch dein - intregral [mm] \red{1} [/mm] dx und wir müssten
> tan(x) - x haben oder??? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
so isses
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Di 27.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
Hi,
füe diese Funktion schlage ich auch eine Substitution vor :
[mm] \wurzel{x-1} [/mm] = t
x = [mm] t^2 [/mm] + 1
dx = 2tdt
[mm] \integral{ \bruch{2t^2}{t^2+1}dt} [/mm] = [mm] 2\integral{ \bruch{t^2+1-1}{t^2+1}dt} [/mm] = [mm] 2*(\integral{dt} [/mm] - [mm] \integral{ \bruch{1}{t^2+1}dt} [/mm] = 2(t - arctan(t)) = [mm] 2(\wurzel{x-1} [/mm] - arctan [mm] (\wurzel{x-1}) [/mm] +C
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