Integration im \R^n < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Mi 23.01.2013 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Zeigen Sie die folgenden Behauptungen
a) Sei R ein Quader im [mm] \IR^n [/mm] und seien Funktionen [mm] f,g:R-\IR [/mm] Riemann-integrierbaren mit [mm] f(x)\leg(x) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] R
Dann gilt [mm] \integral_{R} f(x)dx\le \integral_{R} [/mm] g(x)dx
b) Die Menge [mm] {\bruch{1}{n}| n \in \IN}\cup{0} [/mm] ist eine Jordan Nullmenge
c) Für Teilmengen A [mm] \subseteq \IR^n [/mm] können nicht sowohl A als auch [mm] \IR^n \A [/mm] Lebesgue Nullemenge sein
d) Die Funktion [mm] f:[0,1]->\IR:
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{n}, & \mbox{falls } x\in]\bruch{1}{n+1}] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
ist Riemann integrierbar |
Hallo,
ich habe mal bei der letzten angefangen:
für n [mm] \in \IN [/mm] betrachten wir die Treppenfunktion
[mm] \phi_n:[a,b] ->\IR \varphi_n:[a,b]->\IR
[/mm]
die gegeben sind durch
[mm] \phi_n(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{falls} x\ge\bruch{1}{n} \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst }\mbox{} \end{cases}
[/mm]
[mm] \varphi_n(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{falls} x\ge\bruch{1}{n} \mbox{} \\ \bruch{1}{n}, & \mbox{sonst }\mbox{} \end{cases}
[/mm]
dann gilt:
[mm] \phi_n \le [/mm] f(x) [mm] \le \varphi_n
[/mm]
und
[mm] \integral_0^1 \varphi_n(x)dx-\integral_0^1 \phi_n(x)dx=....
[/mm]
ist das soweit in Ordnung?
Würde mich über eine Korrektur freuen
Lg und danke im Voraus
Laura
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mi 23.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie die folgenden Behauptungen
>
> a) Sei R ein Quader im [mm]\IR^n[/mm] und seien Funktionen [mm]f,g:R-\IR[/mm]
> Riemann-integrierbaren mit [mm]f(x)\leg(x)[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] R
>
> Dann gilt [mm]\integral_{R} f(x)dx\le \integral_{R}[/mm] g(x)dx
>
> b) Die Menge [mm]{\bruch{1}{n}| n \in \IN}\cup{0}[/mm] ist eine
> Jordan Nullmenge
>
> c) Für Teilmengen A [mm]\subseteq \IR^n[/mm] können nicht sowohl A
> als auch [mm]\IR^n \A[/mm] Lebesgue Nullemenge sein
>
> d) Die Funktion [mm]f:[0,1]->\IR:[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{n}, & \mbox{falls } x\in]\bruch{1}{n+1}] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
Das soll wohl
[mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{n}, & \mbox{falls } x\in]0,\bruch{1}{n+1}] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
lauten.
>
> ist Riemann integrierbar
> Hallo,
>
> ich habe mal bei der letzten angefangen:
>
> für n [mm]\in \IN[/mm] betrachten wir die Treppenfunktion
>
> [mm]\phi_n:[a,b] ->\IR \varphi_n:[a,b]->\IR[/mm]
>
> die gegeben sind durch
>
> [mm]\phi_n(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{falls} x\ge\bruch{1}{n} \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst }\mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]\varphi_n(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{falls} x\ge\bruch{1}{n} \mbox{} \\ \bruch{1}{n}, & \mbox{sonst }\mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> dann gilt:
>
> [mm]\phi_n \le[/mm] f(x) [mm]\le \varphi_n[/mm]
ja, das stimmt, aber ...
>
> und
>
> [mm]\integral_0^1 \varphi_n(x)dx-\integral_0^1 \phi_n(x)dx=....[/mm]
>
> ist das soweit in Ordnung?
Was heißt in Ordnung ? Was machst Du mit all dem ? Was kommt nach ....
Wenn ich hinschreibe:
[mm] s^2+ch(x- \pi)+\xi (x^2)= [/mm] ......
und Dich frage: ist das in Ordnung ? Was würdest Du antworten ?
FRED
>
> Würde mich über eine Korrektur freuen
>
> Lg und danke im Voraus
>
> Laura
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Do 24.01.2013 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
ich habe nun folgendes gemacht:
[mm] \integral_0^1 \varphi_n(x)dx-\integral_0^1 \phi_n(x)dx=\integral_0^{\bruch{1}{n}}\bruch{1}{n} [/mm] dx+ [mm] \integral_{\bruch{1}{n}}^1 [/mm] f(x) [mm] dx-\integral_0^{\bruch{1}{n}} [/mm] 0 dx- [mm] \integral_{\bruch{1}{n}}^1 f(x)dx=\integral_0^{\bruch{1}{n}}\bruch{1}{n} dx-\integral_0^{\bruch{1}{n}} [/mm] 0 [mm] dx=\bruch{1}{n^2}--> [/mm] nicht riemann integrierbar
Lg Laura
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Mir fällt gerade auf (gestern hatte ich das übersehen), dass
$ [mm] f:[0,1]->\IR: [/mm] $
durch
$ [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{n}, & \mbox{falls } x\in]\bruch{1}{n+1}] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x=0 \mbox{ } \end{cases} [/mm] $
gar nicht definiert ist. Wenn [mm] \n \in \IN, [/mm] so ist [mm] \bruch{1}{n+1} \le [/mm] 1/2.
Wie ist f denn im Intervall [mm] $(\bruch{1}{2},1 [/mm] ]$ definiert ? Wie ist f überhaupt definiert ?
Gib das mal richtig an.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Do 24.01.2013 | | Autor: | Laura87 |
sry das muesste so da stehen:
$ [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{n}, & \mbox{falls } x\in]\bruch{1}{n+1}, \bruch{1}{n}] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x=0 \mbox{ } \end{cases} [/mm] $
sonst sind keine weiteren angaben gegeben
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> sry das muesste so da stehen:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{n}, & \mbox{falls } x\in]\bruch{1}{n+1}, \bruch{1}{n}] \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> sonst sind keine weiteren angaben gegeben
Das genügt ja auch.
Die Riemannintegrierbarkeit kannst Du so begründen:
f ist auf [0,1] monoton wachsend, also R - integrierbar.
Oder so:
f ist auf [0,1] beschränkt und fast überall stetig, also R - integrierbar.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
>
> ich habe nun folgendes gemacht:
>
> [mm]\integral_0^1 \varphi_n(x)dx-\integral_0^1 \phi_n(x)dx=\integral_0^{\bruch{1}{n}}\bruch{1}{n}[/mm]
> dx+ [mm]\integral_{\bruch{1}{n}}^1[/mm] f(x)
> [mm]dx-\integral_0^{\bruch{1}{n}}[/mm] 0 dx-
> [mm]\integral_{\bruch{1}{n}}^1 f(x)dx=\integral_0^{\bruch{1}{n}}\bruch{1}{n} dx-\integral_0^{\bruch{1}{n}}[/mm]
> 0 [mm]dx=\bruch{1}{n^2}-->[/mm] nicht riemann integrierbar
Das ist doch gober Unfug ! Oben kommt zweimal das Integral [mm] \integral_{\bruch{1}{n}}^1 [/mm] f(x)dx vor.
Damit benutzt Du die R - integrierbarkeit von f und folgerst, das f nicht R - integrierbar ist ????
FRED
>
> Lg Laura
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Mi 23.01.2013 | | Autor: | Laura87 |
Ich wollte nur wissen ob meine schritte bis dahin richtig sind.
Danke für die antwort.
Lg
|
|
|
|
