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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Mi 27.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | a) Man bestimme die Partialbruchzerlegung folgender rationaler Funktion:
[mm] f:\IR\backslash\{-1,1\}\rightarrow\IR,f(x):=\bruch{1}{(x-1)(x-1)^2}
[/mm]
b) Finden Sie eine Stammfunktion von f in (-1,1).
c) Ist f auf i) [-1,1] integrierbar? Begründen Sie das Ergebnis?
ii) (-1,1)
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Hallo,
mein Ansatz:
a) Partialbruchzerlegung (hier ganz einfach ohne viel Rechnerei mit der Einsetzmathode. Habe es aber mit Koeffizientenvergleich überprüft):
f(x)= [mm] \bruch{1}{(x-1)*(x-1)^2} [/mm] = [mm] \bruch{1/4}{(x-1)} [/mm] + [mm] \bruch{-1/4}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{-1/2}{(x+1)^2} [/mm]
b) Stammfunktion: siehe c)
c) Integral: i) existiert nicht, da in der Stammfunktion u.a. ln|x-1| steht und man u.a. für x 1 einsetzen müsste [mm] \Rightarrow [/mm] nicht definiert.
ii)
[mm] \limes_{a\rightarrow-1, b \rightarrow1} \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x-1)} dx} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}*\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x+1)} dx} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x+1)^2} dx} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{4}*[ln|b-1|-ln|a-1|-(ln|b+1|-ln|a+1|)-2(-\bruch{1}{b+1} [/mm] - (- [mm] \bruch{1}{a+1}))] [/mm] =
[mm] \bruch{1}{4}*[\limes_{b \rightarrow1}\underbrace{ln|b-1|}_{\rightarrow -\infty}-\limes_{a\rightarrow-1}\underbrace{ln|a-1|}_{\rightarrow ln(2)}-(\limes_{b \rightarrow1}\underbrace{ln|b+1|}_{\rightarrow ln(2)}-\limes_{a\rightarrow-1}\underbrace{ln|a+1|}_{\rightarrow -\infty})+2(\limes_{b \rightarrow1}\underbrace{\bruch{1}{b+1}}_{\rightarrow -0,5} [/mm] + [mm] (\limes_{a\rightarrow-1}\underbrace{\bruch{1}{a+1}}_{\rightarrow \infty}))] [/mm] =
[mm] \bruch{1}{4}*( [/mm] " [mm] -\infty" [/mm] - "ln(2)" - "ln(2)" + " [mm] -\infty" [/mm] + "1" + [mm] 2*"\infty") [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*(- [/mm] 2* "ln(2)" - "ln(2)" [mm] -2*"\infty" [/mm] + "1" + [mm] 2*"\infty") [/mm] = -2*ln(2) + 1 (da sich die -2* [mm] "\infty" [/mm] und die 2* [mm] "\infty" [/mm] wegkürzen)???
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist nicht auf [-1,1], aber auf (-1,1) integrierbar.
Stimmt das so...?
lG
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Hallo a_la_fin,
> a) Man bestimme die Partialbruchzerlegung folgender
> rationaler Funktion:
>
> [mm]f:\IR\backslash\{-1,1\}\rightarrow\IR,f(x):=\bruch{1}{(x-1)(x-1)^2}[/mm]
> b) Finden Sie eine Stammfunktion von f in (-1,1).
> c) Ist f auf i) [-1,1] integrierbar? Begründen Sie das
> Ergebnis?
> ii) (-1,1)
>
> Hallo,
>
> mein Ansatz:
>
> a) Partialbruchzerlegung (hier ganz einfach ohne viel
> Rechnerei mit der Einsetzmathode. Habe es aber mit
> Koeffizientenvergleich überprüft):
>
> f(x)= [mm]\bruch{1}{(x-1)*(x-1)^2}[/mm] = [mm]\bruch{1/4}{(x-1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{-1/4}{x+1}[/mm] + [mm]\bruch{-1/2}{(x+1)^2}[/mm]
>
Die Funktion soll wohl so lauten:[mm]f\left(x\right)=\bruch{1}{(x-1)*(x\red{+}1)^2}[/mm]
> b) Stammfunktion: siehe c)
>
> c) Integral: i) existiert nicht, da in der Stammfunktion
> u.a. ln|x-1| steht und man u.a. für x 1 einsetzen müsste
> [mm]\Rightarrow[/mm] nicht definiert.
>
> ii)
> [mm]\limes_{a\rightarrow-1, b \rightarrow1} \integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4}*\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x-1)} dx}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{4}*\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x+1)} dx}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x+1)^2} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4}*[ln|b-1|-ln|a-1|-(ln|b+1|-ln|a+1|)-2(-\bruch{1}{b+1}[/mm]
> - (- [mm]\bruch{1}{a+1}))][/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4}*[\limes_{b \rightarrow1}\underbrace{ln|b-1|}_{\rightarrow -\infty}-\limes_{a\rightarrow-1}\underbrace{ln|a-1|}_{\rightarrow ln(2)}-(\limes_{b \rightarrow1}\underbrace{ln|b+1|}_{\rightarrow ln(2)}-\limes_{a\rightarrow-1}\underbrace{ln|a+1|}_{\rightarrow -\infty})+2(\limes_{b \rightarrow1}\underbrace{\bruch{1}{b+1}}_{\rightarrow -0,5}[/mm]
> +
> [mm](\limes_{a\rightarrow-1}\underbrace{\bruch{1}{a+1}}_{\rightarrow \infty}))][/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{4}*([/mm] " [mm]-\infty"[/mm] - "ln(2)" - "ln(2)" + " [mm]-\infty"[/mm]
> + "1" + [mm]2*"\infty")[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}*(-[/mm] 2* "ln(2)" - "ln(2)"
> [mm]-2*"\infty"[/mm] + "1" + [mm]2*"\infty")[/mm] = -2*ln(2) + 1 (da sich die
> -2* [mm]"\infty"[/mm] und die 2* [mm]"\infty"[/mm] wegkürzen)???
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist nicht auf [-1,1], aber auf (-1,1)
> integrierbar.
>
> Stimmt das so...?
Setze hier besser: [mm]a:=-1+\varepsilon, \ b:=1-\varepsilon, \ \varepsilon > 0[/mm]
Und mache dann den Grenzübergang für [mm]\varepsilon \to 0[/mm].
Dann kannst Du das auch richtig begründen.
>
> lG
>
Gruss
MathePower
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