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Integration mit Polynom^(-1): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 Sa 06.02.2010
Autor: congo.hoango

Aufgabe
Berechnen Sie folgendes Integral:

[mm] \integral_{}^{}{\bruch {1}{x^2+3x-10} dx} [/mm]

Wie geht man denn an sowas ran, bzw. damit um, dass das ganze im Nenner steht?
Mit Substitution/part. Integration kommt man ja hier nicht weiter, oder?



        
Bezug
Integration mit Polynom^(-1): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Sa 06.02.2010
Autor: leduart

Hallo congo
du willst Lehrer werden, kannst du dann etwas mehr auf die üblichen Höflichkeitsformen achten, die du auch von deinen Schülern erwartest?
Das übliche Vorgehen ist Partialbruchzerlegung
schreib dein Polynom als
p(x)=(x-x1)*(x-x2)
Dann [mm] \bruch{1}{p(x)}=\bruch{A}{x-x1}+\bruch{B}{x-x2} [/mm]
und finde A,B durch Koeffizientenvergleich.
Danach siehst du die Stammfkt.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Integration mit Polynom^(-1): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 Sa 06.02.2010
Autor: congo.hoango

Entschuldigung, wenn das unfreundlich rübergekommen ist, das war nicht meine Absicht.

Danke für deine Antwort. Ich hab Partialbruchzerlegung gemacht und bin dann nun mit Koeffizientenvergleich auf folgendes Integral gekommen:

[mm] \integral_{}^{}{\bruch {1}{7(x-2)}-\bruch {1}{7(x+5)} dx} [/mm]

[mm] \Leftrightarrow \integral_{}^{}{\bruch {1}{7(x-2)}dx} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{\bruch {1}{7(x+5)}dx} [/mm]

Aber nun stellt sich mir wieder die Frage, wie ich diese Integrale lösen kann
Ich bin für jeden Hinweis dankbar.

Gruß
congo



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Integration mit Polynom^(-1): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Sa 06.02.2010
Autor: XPatrickX

Hallo,

denke hier einfach mal an den Logarithmus...

Gruß Patrick

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Bezug
Integration mit Polynom^(-1): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Sa 06.02.2010
Autor: congo.hoango

Ah ok, super danke.

Also dann habe ich substituiert mit

y:=7(x-2) und y':=7(x+5).

[mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{7y} dx}-\integral_{}^{}{\bruch {1}{7y'}dx} [/mm]

= [mm] [\bruch{1}{7}log(7x-14)]-[ \bruch{1}{7}log(7x+35)] [/mm]

= [mm] \bruch{1}{7}log(\bruch{x-2}{x+5}) [/mm]

Ist das richtig? Weil integrals.wolfram.com spuckt mir aus: [mm] \bruch{-2}{7}tanh^{-1}(\bruch{2x}{7}+\bruch{3}{7}) [/mm]

Gruß
congo

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Bezug
Integration mit Polynom^(-1): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Sa 06.02.2010
Autor: leduart

Hallo
Dein Ergebnis ist richtig, wie du selbst leicht mit differenzieren zeigen kannst! irgendwie kann man [mm] tanh^{-1} [/mm] in ln umrechnen, ich weiss nicht, warum Wolfram den so bevorzugt.
du brauchst noch im ln Beträge, weil das Integral auch für Werte definiert ist, wo der Bruch negativ ist.
Gruss leduart

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Bezug
Integration mit Polynom^(-1): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:45 Sa 06.02.2010
Autor: congo.hoango

Ok, vielen Dank an euch!

Bezug
                                                
Bezug
Integration mit Polynom^(-1): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:19 Sa 06.02.2010
Autor: felixf

Hallo leduart,

>  Dein Ergebnis ist richtig, wie du selbst leicht mit
> differenzieren zeigen kannst! irgendwie kann man [mm]tanh^{-1}[/mm]
> in ln umrechnen, ich weiss nicht, warum Wolfram den so
> bevorzugt.

eventuell damit das Ergebnis einfacher wird, da die rationale Funktion im Logarithmus durch eine lineare Funktion im [mm] $\tanh^{-1}$ [/mm] ersetzt wird.

Umrechnen kann man per []Wikipedia durch [mm] $\tanh^{-1}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ [/mm] (fuer $|x| < 1$).

LG Felix


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