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Integration nicht rationaler F: Aufgabe Partialbruchzerlegung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:45 Mi 22.09.2010
Autor: forgot_it_all

Aufgabe 1
[mm] (x^2+2x-2)/((x-1)(x^2+1)) [/mm]

Aufgabe 2
[mm] 1/(x^2+x^4) [/mm]

Hi,
also in der Schule haben wir gelernt, wie wir solche Funktionen durch  Partialbruchzerlegung integrieren können. Als Beispiel hatten wir da aber [mm] f(x)=(6x^2-x+1)/(x^3-x). [/mm]
Da war das einfach, weil der Nenner in 3 Faktoren zerlegt werden kann und man im Verlauf quasi jedem Summanden im Zähler einem Faktor im Nenner 'zuordnen' kann.
Meine Frage ist nun, wie das bei den 2 Aufgaben funktioniert, die ich gepostet habe, denn da lässt sich da so nicht ohneweiteres anstellen...?
Wär echt klasse, wenn mir jemand wenigstens eine der beiden mal vorrechnen könnte...

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
thx schonmal

        
Bezug
Integration nicht rationaler F: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 Mi 22.09.2010
Autor: Roadrunner

Hallo forgot_it_all!


Es gilt hier:
[mm] $$\bruch{x^2+2x-2}{(x-1)*\left(x^2+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B*x+C}{x^2+1}$$ [/mm]

bzw.

[mm] $$\bruch{1}{x^2+x^4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2*\left(1+x^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C*x+D}{1+x^2}$$ [/mm]

Siehe dazu auch mal []hier.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Integration nicht rationaler F: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 Mi 22.09.2010
Autor: forgot_it_all

Ja okay, danke schonmal soweit, aber ich komm damit trotzdem noch zu keinem Ergebnis. Bei der ersten Aufgabe komme ich dann auf A=1/2, B=1/2 und C=5/2. Dann hab ich aber noch das Problem,

dass ich [mm] x/(2*(x^2+1)) [/mm] integrieren muss?!

Und bei der 2. Aufgabe würde mich da mal noch interessieren, wie ich dann ein Gleichungssystem aufstellen soll für a,b,c und d?!

Bezug
                        
Bezug
Integration nicht rationaler F: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Mi 22.09.2010
Autor: reverend

Hallo forgot_it_all!

Das sieht doch ganz gut aus.

> Ja okay, danke schonmal soweit, aber ich komm damit
> trotzdem noch zu keinem Ergebnis. Bei der ersten Aufgabe
> komme ich dann auf A=1/2, B=1/2 und C=5/2. [ok]
> Dann hab ich aber noch das Problem,
>
> dass ich [mm]x/(2*(x^2+1))[/mm] integrieren muss?!

Ich nehme an, Du kannst Substitution? Dann ersetze mal [mm] u=x^2+1. [/mm]

Schwieriger ist eigentlich [mm] \int{\bruch{1}{x^2+1}\ dx}=\arctan{x} [/mm]

> Und bei der 2. Aufgabe würde mich da mal noch
> interessieren, wie ich dann ein Gleichungssystem aufstellen
> soll für a,b,c und d?!

Naja, es ist also

[mm] \bruch{1}{x^2\cdot{}\left(1+x^2\right)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C\cdot{}x+D}{1+x^2} [/mm]

Du bringst die rechte Seite auf den Hauptnenner (der linken Seite), und führst im Zähler einen Koeffizientenvergleich durch. [mm] x^3,\ x^2 [/mm] und x dürfen ja nicht auftauchen, ihr Koeffizient muss also jeweils 0 sein. Und das absolute Glied muss 1 sein. Damit hast Du vier Gleichungen für vier Variable.

Grüße
reverend

Bezug
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