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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo liebe Leute,
folgende Funktion möchte ich integrieren:
[mm](100-x)e^{-0,01x}[/mm]
Formel für die partielle Integration ist:
[mm] \integral_{0}^{x}{f(x)*g'(x)}=f(x)*g(x)-\integral_{0}^{x}{f'(x)*g(x)}
[/mm]
So, nun bestimme ich, dass
[mm]f(x)=(100-x)[/mm]
[mm]f'(x)=(-1)[/mm]
[mm] g'(x)=e^{-0,01x}
[/mm]
[mm] g(x)=-100e^{-0,01x}
[/mm]
[mm] G(x)=10.000e^{-0,01x}
[/mm]
So, wenn bis dahin alles richig wäre, könnte ich jetz ja weitermachen:
[mm] (100-x)*(-100e^{-0,01x})-\integral_{0}^{x}{(-1)*(-100e^{-0,01x})}
[/mm]
=
[mm] (100-x)*(-100e^{-0,01x})-\integral_{0}^{x}{-100e^{-0,01x}}
[/mm]
=
[mm] (100-x)*(-100e^{-0,01x})-[(-x)*(10.000e^{-0,01x})]
[/mm]
Der nächste Schritt wäre jetzt, die Grenzen einzusetzen und dann voneinander zu subtrahieren. Ist das bis hier hin so korrekt? Sollte ich vielleicht f(x) und g'(x) anders wählen, und wenn ja, warum?
Ich würde mich über eine Antwort und ggf. Korrektur sehr freuen!
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bei g' fehlt der Faktor 0,01
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Mo 13.09.2004 | | Autor: | andreas |
hi Alice
also erstmal: $f$ und $g'$ hast du absolut richtig gewählt.
> Formel für die partielle Integration ist:
>
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{f(x)*g'(x)}=f(x)*g(x)-\integral_{0}^{x}{f'(x)*g(x)}
[/mm]
im allgemeinen versucht man integrationsgrenze und integrationsvariable verschieden zu benennen, also z.b. $x$ und $t$. dann ergibt sich z.b. folgende formel für die partielle integration:
[mm]\int_{0}^{x}{f(t)*g'(t)} \, \text{d} t = \left. f(t)*g(t) \right|_{t = 0}^x - \int_{0}^{x}{f'(t)*g(t)} \, \text{d} t [/mm]
> So, nun bestimme ich, dass
>
> [mm]f(x)=(100-x)[/mm]
> [mm]f'(x)=(-1)[/mm]
> [mm]g'(x)=e^{-0,01x}
[/mm]
> [mm]g(x)=-100e^{-0,01x}
[/mm]
> [mm]G(x)=10.000e^{-0,01x}
[/mm]
stimmt alles (im allgemeinen brauchst du aber [m] G [/m] gar nicht - hier ist es aber schon nützlich!).
> So, wenn bis dahin alles richig wäre, könnte ich jetz ja
> weitermachen:
>
>
> [mm](100-x)*(-100e^{-0,01x})-\integral_{0}^{x}{(-1)*(-100e^{-0,01x})}
[/mm]
hier musst du - insofern du von $0$ bis $x$ integrieren willst - aber auch noch die untere grenze $0$ in die vordere funktion einsetzen! wenn du unbestimmt integrieren willst, also so, dass du am ende die grenzen einsetzt, schreibst du die integrale am besten immer ganz ohne grenzen, da es sonst nur zu unnötiger verwirrung führt!
> =
>
> [mm](100-x)*(-100e^{-0,01x})-\integral_{0}^{x}{-100e^{-0,01x}}
[/mm]
hier ging - glaube ich - beim integral ein minus verloren: in der oberen zeile sind noch drei minuse da in der unteren nur noch zwei!
> =
> [mm](100-x)*(-100e^{-0,01x})-[(-x)*(10.000e^{-0,01x})]
[/mm]
wo kommt den plötzlich das $-x$ her? du hast doch hier gnaz einfach [m] \int g(x) \, \text{d} x [/m] stehen, wenn ich deine obigen bezeichnungen mit [m] g(x) = -100e^{-0,01x} [/m] verwende. dann gilt ber doch ganz einfach [m] \int g(x) \, \text{d} x = G(x) [/m], wenn [m] G(x) [/m] eine stammfunktion von [m] g(x) [/m] ist. und so eine hast du doch schon oben ausgerechnet.
also müsste es meienr ansicht nach heißen:
[m] \int (100 - x)e^{-0.01 x} \, \text{d} x = (100-x)*(-100e^{-0,01x})-\int{(-1)*(-100e^{-0,01x})} \, \text{d} x [/m]
[m] = -10000e^{-0,01x} + 100 x e^{-0,01x} + \int(-100e^{-0,01x}) \, \text{d} x [/m]
[m] = -10000e^{-0,01x} + 100 x e^{-0,01x} + 10000e^{-0,01x}x [/m]
[m]= 100xe^{-0,01x} [/m]
schau mal, ob du die rechnung nachvollziehen kannst. im ersten schritt habe ich einfach deine partielle integration von oben kopiert, im zweiten schritt den vorderen term ausmultipliziert und hinten die minuse zusammengefasst. im dritten schritt das hintere integral berechnet (hast du ja oben auch schon selber gemacht) und im vierten schritt noch das ergebnis etwas vereinfacht.
> Der nächste Schritt wäre jetzt, die Grenzen einzusetzen und
> dann voneinander zu subtrahieren.
hier könntets du nun tatsächlich einfach die grenzen einsetzen und voneinander subtrahieren.
bei weitern problemen frage einfach nach.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo Andreas,
danke für deine schnelle Antwort!
Ich habe alles verstanden, nur eine kleinigkeit stört mich noch:
> [m]= -10000e^{-0,01x} + 100 x e^{-0,01x} + 10000e^{-0,01x}x [/m]
das x ganz hinten ist doch ein Schreibfehler von dir, oder?
Sonst ist alles klar, ich hoffe, ich krieg langsam mal ein bisschen übung im integrieren!
Danke nochmals!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Mo 13.09.2004 | | Autor: | andreas |
hi Alice
> Ich habe alles verstanden, nur eine kleinigkeit stört mich
> noch:
>
>
> > [m]= -10000e^{-0,01x} + 100 x e^{-0,01x} + 10000e^{-0,01x}x[/m]
>
>
> das x ganz hinten ist doch ein Schreibfehler von dir,
> oder?
da hast du natürlich recht.
grüße
andreas
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