Integration per PBZ < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] \integral{\frac{2x^2-22x-16}{x^3+x-10} \ dx}
[/mm]
Berechnen Sie das Integral durch die Partialbruchzerlegung |
Hallo,
zu dieser Aufgabe habe ich eine Frage. Und zwar wie ich die Partialbruchzerlegung hinbekomme.
Die einzelnen Schritte kenne ich ja:
1. Nenner mit den Nullstellen faktorisieren. (Polynomdivision; pq-Formel)
2. Koeffizienten per Vergleich berechnen.
Jedoch kommt bei meiner Faktorisierung raus:
A/(x-2) + B/(x +(1+2i)) +C/(x+(1-2i))
Jetzt ist mein Problem dass ich nicht genau weiß wie ich A, B, und C berechnen kann.
Wenn mir da jemand helfen könnte wäre das nett. Vielen Dank schon mal im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Jim Beam 
Ach nee, Johnnie Walker ist es ja.
Erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm] $\integral{\bruch{2x^2-22x-16}{x^3+x-10} dx}$ [/mm] $ \ \ [mm] \leftarrow$ klick!
> Berechnen Sie das
> Integral durch die Partialbruchzerlegung
> Hallo,
> zu dieser Aufgabe habe ich eine Frage. Und zwar wie ich
> die Partialbruchzerlegung hinbekomme.
>
> Die einzelnen Schritte kenne ich ja:
>
> 1. Nenner mit den Nullstellen faktorisieren.
> (Polynomdivision; pq-Formel)
> 2. Koeffizienten per Vergleich berechnen.
>
> Jedoch kommt bei meiner Faktorisierung raus:
> A/(x-2) + B/(x +(1+2i)) +C/(x+(1-2i)) [ok]
>
> Jetzt ist mein Problem dass ich nicht genau weiß wie ich A,
> B, und C berechnen kann.
> Wenn mir da jemand helfen könnte wäre das nett. Vielen Dank
> schon mal im Vorraus
Hmm, mit deinem Ansatz musst du mit komplexen Zahlen rechnen, das ist nicht besonders schön, die $A, B, C$ sind bei diesem Ansatz $\in\IC$
Vllt. ist es günstiger bzw. einfacher zu rechnen, wenn du den Nenner zerlegst in $x^3+x-10=(x-2)\cdot{}(x^2+2x+5)$ und dann für die PBZ den Ansatz
$\frac{2x^2-22x-16}{x^3+x-10}=\frac{A}{x-2} \ + \ \frac{Bx+C}{x^2+2x+5}$ machst ... mit $A, B, C\in\IR$
Hier dann gleichnamig machen, den Zähler dann nach Potenzen von x ordnen und einen Koeffizientenvergleich mit $2x^2-22x-16$ machen.
Reicht dir das als Starthilfe?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
[/mm]
|
|
|
| |
|
Danke schon mal für die Antwort. Ich probiere das gleich mal aus.
War mir nicht sicher ob ich das auch so aufschreiben kann ohne noch bis zum Ende zerlegt zu haben...
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
ja, wie gesagt, dein Ansatz ist auch total in Ordnung, nur musst du mit komplexen Zahlen hantieren ...
So bleibt alles nett reell
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Habs noch nicht so drauf, wo ich meine Fragen eintippen muss. Deswegen hier noch mal.
Für A bekomme ich dann -52/5 raus. Für B x +C habe ich nun
Um den Wert den ich für x einsetzen muss rauszubekommen, muss ich doch jetzt die Nullstelle des Nenners von Bx+C nehmen. Aber da gibt es doch keine reellen Nullstellen. Stehe etwas auf dem Schlauch.
MFG JohnnieWalker
Danke aber bis jetzt für deine Hilfe
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Habs noch nicht so drauf, wo ich meine Fragen eintippen
> muss. Deswegen hier noch mal.
>
> Für A bekomme ich dann -52/5 raus. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ich halte nix von dieser Zuhaltemethode, mit der du das scheinbar gemacht hast, ich habe es stumpf mit Gleichnamigmachen und Koeffizientenvergleich gemacht und komme auf [mm] $A=-\frac{52}{13}=-4$
[/mm]
> Für B x +C habe ich nun
> Um den Wert den ich für x einsetzen muss rauszubekommen,
> muss ich doch jetzt die Nullstelle des Nenners von Bx+C
> nehmen. Aber da gibt es doch keine reellen Nullstellen.
> Stehe etwas auf dem Schlauch.
Bei deinem falschen Wert für A ist das ohne Rechenweg schwer zu sagen, also sage bitte genauer, was und wie du es berechnet hast.
Sonst ist das Helfen schwierig ...
>
> MFG JohnnieWalker
>
> Danke aber bis jetzt für deine Hilfe
Gerne
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Stimmt, hatte einen Vorzeichenfehler. Komme nun auch auf -52/13.
Aber wie geht denn das mit dem Koeffizientenvergleich?
MFG Johnnie Walker
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
das sage ich doch die ganze Zeit: gleichnamig machen und nach Potenzen von x sortieren:
Wir haben den PBZ-Ansatz [mm] $\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+2x+5}$
[/mm]
[mm] $=\frac{A\cdot{}(x^2+2x+5)+(Bx+C)\cdot{}(x-2)}{(x-2)\cdot{}(x^2+2x+5)}=...=\frac{(\blue{A+B})\cdot{}x^2+(\red{2A-2B+C})\cdot{}x+(\green{5A-2C})}{x^3+x-10}$
[/mm]
Das soll [mm] $=\frac{\blue{2}\cdot{}x^2\red{-22}\cdot{}x\green{-16}}{x^3+x-10}$ [/mm] sein
Also müssen die Koeffizienten gleich sein, das gibt dir also ein LGS mit 3 Gleichungen in den 3 Unbekannten A, B, C
(1) $A+B=2$
(2) $2A-2B+C=-22$
(3) $5A-2C=-16$
Das gilt es zu lösen ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
ok vielen dank, ich werd mir das noch mal in ruhe zur Gemüte führen.
Wollte es halt nur so machen, wie in der Vorlesung... denn ich schreibe am Freitag Klausur und muss noch gut lernen...
Jedenfalls ist es super, wie schnell hier in dem Forum reagiert wird.
Super. Dir noch nen schönen Abend.
MFG Johnnie Walker
|
|
|
| |
|
Für A bekomme ich dann -52/5 raus. Für B x +C habe ich nun
[mm] (2x^2-22x-16)/(x-2). [/mm] Um den Wert den ich für x einsetzen muss rauszubekommen, muss ich doch jetzt die Nullstelle des Nenners von Bx+C nehmen. Aber da gibt es doch keine reellen Nullstellen. Stehe etwas auf dem Schlauch.
MFG JohnnieWalker
|
|
|
|
