Integration per Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Di 02.06.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Integriege folgendes:
[mm] \int_{}^{} \bruch{\wurzel{x²-4}}{x}\, [/mm] dx |
Hallo Zusammen,
um folgendes: [mm] \int_{}^{} \bruch{\wurzel{x²-4}}{x}\, [/mm] dx zu integrieren habe ich wie folgt begonnen:
x = 2 [mm] \cdot{} [/mm] cosh(u)
dx = 2 [mm] \cdot{} [/mm] sinh(u) du
[mm] \wurzel{x²-4} [/mm] = 2 [mm] \cdot{} [/mm] sinh(u)
somit folgt daraus:
[mm] $\int_{}^{} \bruch{\wurzel{x²-4}}{x}\, [/mm] dx = [mm] \int_{}^{} \bruch{2 \cdot{} sinh(u) \cdot{} 2 \cdot{} sinh(u)}{2 \cdot{} cosh(u)}\, [/mm] du = [mm] \int_{}^{} \bruch{4 \cdot{} sinh²(u)}{2 \cdot{} cosh(u)}\, [/mm] du = 2 [mm] \cdot{} \int_{}^{} \bruch{sinh²(u)}{cosh(u)}\, [/mm] du = 2 [mm] \cdot{} \int_{}^{} \bruch{1+cosh²(u)}{cosh(u)}\, [/mm] du = 2 [mm] \cdot{} \int_{}^{} \bruch{1}{cosh(u)}\, [/mm] du + 2 [mm] \cdot{} \int_{}^{} cosh(u)\, [/mm] du$
cosh(u) kann man nun umschreiben, über die e-Funktion:
$2 [mm] \cdot{} \int_{}^{} \bruch{1}{\bruch{e^u + e^{-u}}{2}}\, [/mm] du + 2 [mm] \cdot{} [/mm] sinh(u) = 4 [mm] \cdot{} \int_{}^{} \bruch{1}{\bruch{e^{2u}+1}{e^u}}\, [/mm] du + 2 [mm] \cdot{} [/mm] sinh(u) = 4 [mm] \cdot{} \int_{}^{} \bruch{e^u}{e^{2u}+1}\, [/mm] du + 2 [mm] \cdot{} [/mm] sinh(u)$
Nun kann ich doch mit substituieren:
$w = [mm] e^u [/mm] <-> u = ln(w)$
[mm] $\bruch{du}{dw} [/mm] = [mm] \bruch{1}{w} [/mm] -> du = [mm] \bruch{dw}{w}$
[/mm]
Nach der zweiten Substituion ergibt sich somit:
$4 [mm] \cdot{} \int_{}^{} \bruch{w}{w²+1}\, \bruch{dw}{w} [/mm] + 2 [mm] \cdot{} [/mm] sinh(u) = 4 [mm] \cdot{} \int_{}^{} \bruch{1}{w²+1}\, [/mm] dw + 2 [mm] \cdot{} [/mm] sinh(u) = 4 [mm] \cdot{} [/mm] arctan(w) + 2 [mm] \cdot{} [/mm] sinh(u)$
Rücksubstitution:
$4 [mm] \cdot{} [/mm] arctan(w) + 2 [mm] \cdot{} [/mm] sinh(u) = 4 [mm] \cdot{} arctan(e^u) [/mm] + [mm] \wurzel{x²-4} [/mm] = 4 [mm] \cdot{} arctan(e^{arcosh(\bruch{x}{2})}) [/mm] + [mm] \wurzel{x²-4}$
[/mm]
Rauskommen sollte jedoch:
[mm] \wurzel{x²-4}-2 \cdot{} arccos(\bruch{2}{x})
[/mm]
Wo steckt mein Fehler, ich finde diesen nicht?
Gruß
itse
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Hallo itse,
hast du dich zu einem Integrationswettbewerb angemeldet?  Du hast ja in den letzten Tagen ne Menge Integrale verarztet ...
Nach deinem "Fehler" - so es denn einen gibt - suche ich gleich mal, nur schnell eine alternative Substitution, die schnell auf das angegebene Wunschergebnis führt:
Substituiere [mm] $u:=\sqrt{x^2-4}$, [/mm] dann ist [mm] $\frac{du}{dx}=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}=\frac{x}{u}$
[/mm]
Also [mm] $dx=\frac{u}{x} [/mm] \ du$
Damit kommst du auf das Integral [mm] $\int{\frac{u^2}{x^2} \ du}=\int{\frac{u^2}{u^2+4} \ du}=\int{1 \ du}-\int{\frac{4}{u^2+4} \ du}=u-\int{\frac{1}{\left(\frac{u}{2}\right)^2+1} \ du}$
[/mm]
Und das sollte doch gut klappen, um auf die Lösung zu kommen ...
bzw. kommt [mm] $\sqrt{x^2-4}-2\arctan\left(\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}\right)$ [/mm] heraus
Evtl. noch [mm] $z:=\frac{u}{2}$ [/mm] substituieren, dann siehst du's direkt..
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Mi 03.06.2009 | | Autor: | itse |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo schachuzipus,
okay dann kommt, als Stammfunktion folgendes heraus:
$ \sqrt{x^2-4}-2\arctan\left(\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}\right) + C$
soweit auch vollkommen verständlich nun wollte ich das noch umformen:
\arctan\left(\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}\right) = \bruch{\pi}{2} - arccos\left( \bruch{\bruch{\wurzel{x²-4}}{2}}{\wurzel{1+\bruch{\wurzel{x²-4}}{2}}} \right) =\bruch{\pi}{2} - arccos\left( \bruch{\wurzel{x²-4}}{2} \cdot{} \bruch{2}{x} \right) = \bruch{\pi}{2} - arccos\left( \bruch{\wurzel{x²-4}}{x} \right)
dies nun wieder eingesetzt in die Stammfunktion ergibt:
$ \sqrt{x^2-4}-2 \cdot{} \left( \bruch{\pi}{2} - arccos\left( \bruch{\wurzel{x²-4}}{x} \right) \right) = \sqrt{x^2-4}-\pi +2 arccos\left(\bruch{\wurzel{x²-4}}{x} \right) \right) + C_1$
$= \wurzel{x²-4} + 2 \cdot{} arccos\left( \bruch{\wurzel{x-2}\wurzel{x+2}}{x} \right) + C$
wobei C = C_1-\pi
Wie kann ich dies weiterumformen, um auf das Ergebnis zu gelangen?
Gruß
itse
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Hallo!
Du verwendest glaub ich die falsche Identität!
Wegen
[mm] $\cos(\arctan(x)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
[/mm]
ist
[mm] $\arctan(x) [/mm] = [mm] \arccos\left(\bruch{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)$.
[/mm]
Man erhält dann
[mm] $\arctan\left(\bruch{\sqrt{x^{2}-4}}{2}\right) [/mm] = [mm] \arccos\left(\bruch{1}{\sqrt{1+\left(\bruch{\sqrt{x^{2}-4}}{2}\right)^{2}}}\right) [/mm] = [mm] \arccos\left(\bruch{1}{\sqrt{1+\bruch{x^{2}-4}{4}}}\right)= \arccos\left(\bruch{1}{\sqrt{\bruch{x^{2}}{4}}}\right) [/mm] = [mm] \arccos\left(\bruch{1}{\bruch{x}{2}}\right) [/mm] = [mm] \arccos\left(\bruch{2}{x}\right)$
[/mm]
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Mi 03.06.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Du verwendest glaub ich die falsche Identität!
> Wegen
>
> [mm]\cos(\arctan(x)) = \bruch{1}{\sqrt{1+x^{2}}}[/mm]
>
> ist
>
> [mm]\arctan(x) = \arccos\left(\bruch{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)[/mm].
Wie kommt man den auf die Identität? Könntest du das näher ausführen?
Habe bis jetzt davon nichts gehört. Ich habe einfach die Formel zur Umrechnung von arctan in arccos hergenommen.
Vielen Dank,
itse
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Hallo!
Wegen
[mm] $\tan(x) [/mm] = [mm] \bruch{\sin(x)}{\cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{\sqrt{1-\cos^{2}(x)}}{\cos(x)}$
[/mm]
ist
$x = [mm] \arctan\left(\bruch{\sqrt{1-\cos^{2}(x)}}{\cos(x)}\right)$
[/mm]
Substitution mit [mm] $\cos(x) [/mm] = u [mm] \gdw [/mm] x = [mm] \arccos(u)$ [/mm] bringt
[mm] $\blue{\arccos(u) = \arctan\left(\bruch{\sqrt{1-u^{2}}}{u}\right)}$.
[/mm]
Durch Substitution $y = [mm] \bruch{\sqrt{1-u^{2}}}{u} \gdw [/mm] u = [mm] \bruch{1}{1+y^{2}}$ [/mm] erhält man die gewünschte Identität
[mm] $\blue{\arccos\left(\bruch{1}{1+y^{2}}\right) = \arctan\left(y\right)}$.
[/mm]
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Do 04.06.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
vielen Dank für die ausführliche Darstellung. Eine letzt Frage hätte ich noch, warum benutzt man in diesem Fall eine andere Identiät?
$ [mm] \operatorname{arctan}\left(t\right)=\bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{t}{\wurzel{1+t^{2}}}\right) [/mm] $
Diese Umrechnung stimmt doch genauso. Benutzt man diese bei Integralen deswegen, da die Umformung leichter ist und man nicht noch ein Additionstheorem verwenden muss?
Gruß
itse
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Hallo itse,
> Integriege folgendes:
>
> [mm]\int_{}^{} \bruch{\wurzel{x²-4}}{x}\,[/mm] dx
> Hallo Zusammen,
>
> um folgendes: [mm]\int_{}^{} \bruch{\wurzel{x²-4}}{x}\,[/mm] dx zu
> integrieren habe ich wie folgt begonnen:
>
> x = 2 [mm]\cdot{}[/mm] cosh(u)
> dx = 2 [mm]\cdot{}[/mm] sinh(u) du
> [mm]\wurzel{x²-4}[/mm] = 2 [mm]\cdot{}[/mm] sinh(u)
>
> somit folgt daraus:
>
> [mm]\int_{}^{} \bruch{\wurzel{x²-4}}{x}\, dx = \int_{}^{} \bruch{2 \cdot{} sinh(u) \cdot{} 2 \cdot{} sinh(u)}{2 \cdot{} cosh(u)}\, du = \int_{}^{} \bruch{4 \cdot{} sinh²(u)}{2 \cdot{} cosh(u)}\, du = 2 \cdot{} \int_{}^{} \bruch{sinh²(u)}{cosh(u)}\, du = 2 \cdot{} \int_{}^{} \bruch{1+cosh²(u)}{cosh(u)}\, du = 2 \cdot{} \int_{}^{} \bruch{1}{cosh(u)}\, du + 2 \cdot{} \int_{}^{} cosh(u)\, du[/mm]
>
> cosh(u) kann man nun umschreiben, über die e-Funktion:
>
> [mm]2 \cdot{} \int_{}^{} \bruch{1}{\bruch{e^u + e^{-u}}{2}}\, du + 2 \cdot{} sinh(u) = 4 \cdot{} \int_{}^{} \bruch{1}{\bruch{e^{2u}+1}{e^u}}\, du + 2 \cdot{} sinh(u) = 4 \cdot{} \int_{}^{} \bruch{e^u}{e^{2u}+1}\, du + 2 \cdot{} sinh(u)[/mm]
>
> Nun kann ich doch mit substituieren:
>
> [mm]w = e^u <-> u = ln(w)[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dw} = \bruch{1}{w} -> du = \bruch{dw}{w}[/mm]
>
>
> Nach der zweiten Substituion ergibt sich somit:
>
> [mm]4 \cdot{} \int_{}^{} \bruch{w}{w²+1}\, \bruch{dw}{w} + 2 \cdot{} sinh(u) = 4 \cdot{} \int_{}^{} \bruch{1}{w²+1}\, dw + 2 \cdot{} sinh(u) = 4 \cdot{} arctan(w) + 2 \cdot{} sinh(u)[/mm]
>
> Rücksubstitution:
>
> [mm]4 \cdot{} arctan(w) + 2 \cdot{} sinh(u) = 4 \cdot{} arctan(e^u) + \wurzel{x²-4} = 4 \cdot{} arctan(e^{arcosh(\bruch{x}{2})}) + \wurzel{x²-4}[/mm]
>
> Rauskommen sollte jedoch:
>
> [mm]\wurzel{x²-4}-2 \cdot{} arccos(\bruch{2}{x})[/mm]
>
> Wo steckt mein Fehler, ich finde diesen nicht?
Fehler hast Du keinen gemacht.
Durch entsprechende Umformung erreichst Du dieses Ergebnis.
Es ist
[mm]e^{\operatorname{arcosh}\left(\bruch{x}{2}\right)}=\cosh\left(\operatorname{arcosh}\left(\bruch{x}{2}\right)\right)+\sinh\left(\operatorname{arcosh}\left(\bruch{x}{2}\right)\right)[/mm]
Außerdem gilt
[mm]\operatorname{arctan}\left(t\right)=\operatorname{arcsin}\left(\bruch{t}{\wurzel{1+t^{2}}}\right)=\bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{t}{\wurzel{1+t^{2}}}\right)[/mm]
>
> Gruß
> itse
Gruß
MathePower
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Hallo zusammen,
mir scheint aber doch, dass sich ein kleiner VZF eingeschlichen hat:
> > x = 2 [mm]\cdot{}[/mm] cosh(u)
> > dx = 2 [mm]\cdot{}[/mm] sinh(u) du
> > [mm]\wurzel{x²-4}[/mm] = 2 [mm]\cdot{}[/mm] sinh(u)
> >
> > somit folgt daraus:
> >
> > [mm] $\int_{}^{} \bruch{\wurzel{x²-4}}{x}\, [/mm] dx = [mm] \int_{}^{} \bruch{2 \cdot{} sinh(u) \cdot{} 2 \cdot{} sinh(u)}{2 \cdot{} cosh(u)}\, [/mm] du = [mm] \int_{}^{} \bruch{4 \cdot{} sinh²(u)}{2 \cdot{} cosh(u)}\, [/mm] du = 2 [mm] \cdot{} \int_{}^{} \bruch{sinh²(u)}{cosh(u)}\, [/mm] du = 2 [mm] \cdot{} \int_{}^{} \bruch{\red{-}1+cosh²(u)}{cosh(u)}\, [/mm] du $
und zwar genau hier, wegen [mm] $\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1$ [/mm] ist [mm] $\sinh^2(z)=\cosh^2(z)-1$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Mi 03.06.2009 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
eine Änderung noch wegen dem Vorzeichenfehler:
$- 4 [mm] \cdot{} arctan(e^{arcosh(\bruch{x}{2})}) [/mm] + [mm] \wurzel{x²-4}$
[/mm]
Nun habe ich wie folgt umgeformt:
[mm] e^{arcosh(\bruch{x}{2})} [/mm] = [mm] e^{ln(\bruch{x}{2}+\wurzel{(\bruch{x}{2})²-1})} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2}+\wurzel{(\bruch{x}{2})²-1} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2}+\wurzel{\bruch{x²-4}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2}+\bruch{\wurzel{x²-4}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{x+\wurzel{x²-4}}{2}
[/mm]
Somit würde sich schon mal ergeben:
$= - 4 [mm] \cdot{} arctan(\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{2}) [/mm] + [mm] \wurzel{x²-4}$
[/mm]
Nach folgender Formel:
$ [mm] \operatorname{arctan}\left(t\right)=\bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{t}{\wurzel{1+t^{2}}}\right) [/mm] $
Kann man nun weiter umformen:
[mm] arctan(\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{2}}{\wurzel{1+(\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{2})²}}\right) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{2}}{\wurzel{\bruch{2x²+2x\wurzel{x²-4}}{4}}}\right) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{2} \cdot{} \wurzel{\bruch{4}{2x²+2x\wurzel{x²-4}}}\right) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{\wurzel{2x(x+\wurzel{x²-4})}}\right)
[/mm]
Wie kann man dies noch weiter vereinfachen, um auf das Ergebnis zu gelangen?
Außerdem:
> [mm]e^{\operatorname{arcosh}\left(\bruch{x}{2}\right)}=\cosh\left(\operatorname{arcosh}\left(\bruch{x}{2}\right)\right)+\sinh\left(\operatorname{arcosh}\left(\bruch{x}{2}\right)\right)[/mm]
Woher hast du denn dies? Finde das in keiner Formelsammlung.
Gruß
itse
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Hallo itse,
> Hallo Zusammen,
>
> eine Änderung noch wegen dem Vorzeichenfehler:
>
> [mm]- 4 \cdot{} arctan(e^{arcosh(\bruch{x}{2})}) + \wurzel{x²-4}[/mm]
>
> Nun habe ich wie folgt umgeformt:
>
> [mm]e^{arcosh(\bruch{x}{2})}[/mm] =
> [mm]e^{ln(\bruch{x}{2}+\wurzel{(\bruch{x}{2})²-1})}[/mm] =
> [mm]\bruch{x}{2}+\wurzel{(\bruch{x}{2})²-1}[/mm] =
> [mm]\bruch{x}{2}+\wurzel{\bruch{x²-4}{4}}[/mm] =
> [mm]\bruch{x}{2}+\bruch{\wurzel{x²-4}}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{2}[/mm]
>
>
> Somit würde sich schon mal ergeben:
>
> [mm]= - 4 \cdot{} arctan(\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{2}) + \wurzel{x²-4}[/mm]
>
> Nach folgender Formel:
>
> [mm]\operatorname{arctan}\left(t\right)=\bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{t}{\wurzel{1+t^{2}}}\right)[/mm]
>
> Kann man nun weiter umformen:
>
> [mm]arctan(\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{2})[/mm] =
> [mm]\bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{2}}{\wurzel{1+(\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{2})²}}\right)[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{2}}{\wurzel{\bruch{2x²+2x\wurzel{x²-4}}{4}}}\right)[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{2} \cdot{} \wurzel{\bruch{4}{2x²+2x\wurzel{x²-4}}}\right)[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{\wurzel{2x(x+\wurzel{x²-4})}}\right)[/mm]
Nun, der Faktor [mm]x+\wurzel{x^{2}-4}[/mm] kürzt sich heraus,
so daß dann steht:
[mm]\bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{1}{\wurzel{2x}}\right)[/mm]
>
> Wie kann man dies noch weiter vereinfachen, um auf das
> Ergebnis zu gelangen?
>
Um auf die Lösung zu kommen, muß hier wohl noch ein Addtitionstheorem
für den [mm]\operatorname{arccos}[/mm] angewandt werden.
>
>
> Außerdem:
>
> >
> [mm]e^{\operatorname{arcosh}\left(\bruch{x}{2}\right)}=\cosh\left(\operatorname{arcosh}\left(\bruch{x}{2}\right)\right)+\sinh\left(\operatorname{arcosh}\left(\bruch{x}{2}\right)\right)[/mm]
>
> Woher hast du denn dies? Finde das in keiner
> Formelsammlung.
Diese Formel basiert auf dem Zusammenhang
[mm]e^{x}=\operatorname{cosh}\left(x\right)+\operatorname{sinh}\left(x\right)[/mm]
Und die wirst Du in der Formelsammlung finden.
>
> Gruß
> itse
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Do 04.06.2009 | | Autor: | itse |
Hallo MathePower,
> [mm]\bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{\wurzel{2x(x+\wurzel{x²-4})}}\right)[/mm]
>
> Nun, der Faktor [mm]x+\wurzel{x^{2}-4}[/mm] kürzt sich heraus,
> so daß dann steht:
>
> [mm]\bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{1}{\wurzel{2x}}\right)[/mm]
Ich habe das ganze nunmal so umgeschrieben:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2x}} \cdot{} \bruch{(x+\wurzel{x²-4})^1}{(x+\wurzel{x²-4})^{\bruch{1}{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{x+\wurzel{x²-4}}}{\wurzel{2x}}
[/mm]
Weiter kann man es nicht vereinfachen? Wie kürzt sich da der Faktor [mm]x+\wurzel{x^{2}-4}[/mm] komplett heraus?
Grüße
itse
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Hallo itse,
> Hallo MathePower,
>
> >
> [mm]\bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{x+\wurzel{x²-4}}{\wurzel{2x(x+\wurzel{x²-4})}}\right)[/mm]
> >
> > Nun, der Faktor [mm]x+\wurzel{x^{2}-4}[/mm] kürzt sich heraus,
> > so daß dann steht:
> >
> >
> [mm]\bruch{\pi}{2}-\operatorname{arccos}\left(\bruch{1}{\wurzel{2x}}\right)[/mm]
>
> Ich habe das ganze nunmal so umgeschrieben:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2x}} \cdot{} \bruch{(x+\wurzel{x²-4})^1}{(x+\wurzel{x²-4})^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{\wurzel{x+\wurzel{x²-4}}}{\wurzel{2x}}[/mm]
>
> Weiter kann man es nicht vereinfachen? Wie kürzt sich da
> der Faktor [mm]x+\wurzel{x^{2}-4}[/mm] komplett heraus?
Ich hatte ja schon im letzten Post erwähnt,
daß Du da gegebenfalls einen Additionstheorem für den arccos anwenden mußt.
[mm]\operatorname{arccos}\left(x_{1}\right)+\operatorname{arccos}\left(x_{2}\right)=\operatorname{arccos}\left(x_{1}*x_{2}-\wurzel{1-x_{1}^{2}}*\wurzel{1-x_{2}^{2}}\right), \ x_{1}+x_{2} \ge 0[/mm]
[mm]\operatorname{arccos}\left(x_{1}\right)-\operatorname{arccos}\left(x_{2}\right)=-\operatorname{arccos}\left(x_{1}*x_{2}+\wurzel{1-x_{1}^{2}}*\wurzel{1-x_{2}^{2}}\right), \ x_{1} \ge x_{2} [/mm]
[mm]=\operatorname{arccos}\left(x_{1}*x_{2}+\wurzel{1-x_{1}^{2}}*\wurzel{1-x_{2}^{2}}\right), \ x_{1} < x_{2} [/mm]
>
> Grüße
> itse
Gruß
MathePower
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Formelsammlung Trigonometrie
