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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Sa 15.10.2011 | | Autor: | volk |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\bruch{x^5+5x^4+4x^3-7x^2+4x+17}{x^3+4x^2+x-6}
[/mm]
(a) Partialbruchzerlegung von f(x) durchführen
(b) unbestimmtes Integral von f(x) berechnen |
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob ich die Aufgabe richtig gelöst und den Rechenweg korrekt aufgeschrieben habe.
(a)
p(x):= [mm] x^5+5x^4+4x^3-7x^2+4x+17
[/mm]
q(x):= [mm] x^3+4x^2+x-6
[/mm]
Da Grad(p(x)) > Grad(q(x)) => Polynomdivision
Es folgt [mm] f(x)=\bruch{(x^2+x-1)(x^3+4x^2+x-6)+2x^2+11x+11}{x^3+4x^2+x-6}=x^2+x-1+\bruch{2x^2+11x+11}{x^3+4x^2+x-6}
[/mm]
Beim Bruch ist jetzt Grad(q(x)) > Grad(p(x))
q(x)=(x-1)(x+2)(x+3)
Damit folgt
[mm] \bruch{2x^2+11x+11}{x^3+4x^2+x-6}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+2}+\bruch{C}{x+3}
[/mm]
Da keine Nullstelle doppelt vorkommt gilt [mm] A_{i}=\bruch{p(a_{i})}{\produkt_{i{\not=}j}^{}(a_{i}-a_{j})}
[/mm]
Somit folgt A=2, B=1, C=-1
[mm] \bruch{2x^2+11x+11}{x^3+4x^2+x-6}=\bruch{2}{x-1}+\bruch{1}{x+2}-\bruch{1}{x+3}
[/mm]
Damit ist das Ergebnis der Partialbruchzerlegung
[mm] f(x)=x^2+x-1+\bruch{2}{x-1}+\bruch{1}{x+2}-\bruch{1}{x+3}
[/mm]
(b)
[mm] \integral_{}^{}{x^2+x-1+\bruch{2}{x-1}+\bruch{1}{x+2}-\bruch{1}{x+3} dx}=\bruch{1}{3}x^3+\bruch{1}{2}x^2-x+2ln(x-1)+ln(x+2)-ln(x+3)
[/mm]
Ich habe noch eine Frage zu (a)
Wenn ich jetzt eine doppelte Nullstelle hätte hatten wir den Ansatz [mm] \bruch{3x^2+x}{x^3+x^2-x-1}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{Bx+C}{(x+1)^2}
[/mm]
Ist das ein allgemeingültiger Ansatz? Welchen Ansatz benötige ich bei Polynomen häherer Ordnung?
Grüße
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Hallo volk,
> [mm]f(x)=\bruch{x^5+5x^4+4x^3-7x^2+4x+17}{x^3+4x^2+x-6}[/mm]
>
> (a) Partialbruchzerlegung von f(x) durchführen
> (b) unbestimmtes Integral von f(x) berechnen
> Hallo,
> ich bin mir nicht sicher, ob ich die Aufgabe richtig
> gelöst und den Rechenweg korrekt aufgeschrieben habe.
>
> (a)
>
> p(x):= [mm]x^5+5x^4+4x^3-7x^2+4x+17[/mm]
> q(x):= [mm]x^3+4x^2+x-6[/mm]
>
> Da Grad(p(x)) > Grad(q(x)) => Polynomdivision
> Es folgt
> [mm]f(x)=\bruch{(x^2+x-1)(x^3+4x^2+x-6)+2x^2+11x+11}{x^3+4x^2+x-6}=x^2+x-1+\bruch{2x^2+11x+11}{x^3+4x^2+x-6}[/mm]
> Beim Bruch ist jetzt Grad(q(x)) > Grad(p(x))
> q(x)=(x-1)(x+2)(x+3)
> Damit folgt
>
> [mm]\bruch{2x^2+11x+11}{x^3+4x^2+x-6}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+2}+\bruch{C}{x+3}[/mm]
> Da keine Nullstelle doppelt vorkommt gilt
> [mm]A_{i}=\bruch{p(a_{i})}{\produkt_{i{\not=}j}^{}(a_{i}-a_{j})}[/mm]
> Somit folgt A=2, B=1, C=-1
>
> [mm]\bruch{2x^2+11x+11}{x^3+4x^2+x-6}=\bruch{2}{x-1}+\bruch{1}{x+2}-\bruch{1}{x+3}[/mm]
> Damit ist das Ergebnis der Partialbruchzerlegung
> [mm]f(x)=x^2+x-1+\bruch{2}{x-1}+\bruch{1}{x+2}-\bruch{1}{x+3}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (b)
>
> [mm]\integral_{}^{}{x^2+x-1+\bruch{2}{x-1}+\bruch{1}{x+2}-\bruch{1}{x+3} dx}=\bruch{1}{3}x^3+\bruch{1}{2}x^2-x+2ln(x-1)+ln(x+2)-ln(x+3)[/mm]
>
>
>
> Ich habe noch eine Frage zu (a)
> Wenn ich jetzt eine doppelte Nullstelle hätte hatten wir
> den Ansatz
> [mm]\bruch{3x^2+x}{x^3+x^2-x-1}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{Bx+C}{(x+1)^2}[/mm]
Nicht ganz. Der korrekte Ansatz lautet:
[mm]\bruch{3x^2+x}{x^3+x^2-x-1}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{(x+1)^2}+\blue{\bruch{C}{x+1}}[/mm]
> Ist das ein allgemeingültiger Ansatz? Welchen Ansatz
> benötige ich bei Polynomen häherer Ordnung?
>
> Grüße LordPippin
Gruss
MathePower
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