Integration über IR^n < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen sie, dass gilt: [mm] \frac{2x_{n}}{n*\alpha_{n}}\integral_{\partial H}{\frac{1}{\parallel y-x \parallel^n}dS(y)}=1 [/mm],
wobei [mm] \alpha_{n}[/mm] das n-dimensionale Volumen der Einheitskugel und [mm] H= \{x \in \IR^n : x_{n} > 0 \}[/mm] ist. |
Hi zusammen! Also ich hab absolut keine Ahnung, wie ich das machen soll, kann mir da bitte jemand helfen?!
Gruß Deuterinomium
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 01:16 Di 29.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen sie, dass gilt:
> [mm]\frac{2x_{n}}{n*\alpha_{n}}\integral_{\partial H}{\frac{1}{\parallel y-x \parallel^n}dS(y)}=1 [/mm],
>
> wobei [mm]\alpha_{n}[/mm] das n-dimensionale Volumen der
> Einheitskugel und [mm]H= \{x \in \IR^n : x_{n} > 0 \}[/mm] ist.
> Hi zusammen! Also ich hab absolut keine Ahnung, wie ich
> das machen soll, kann mir da bitte jemand helfen?!
Ich würde es mit dem Satz von Gauß probieren.
H ist der obere Halbraum, [mm]\partial H[/mm] die Hyperebene [mm]x_n=0[/mm]. Mit dem Satz von Gauß machst du aus dem Integral eines über H, das du dann mit in n-dimensionalen Polarkoordinaten ausrechnest.
Viele Grüße
Rainer
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Ah, danke für den Tip, aber ganz komm ich da immer noch nicht weiter. Folgendes hab ich mir überlegt:
Äußere Normale: [mm]\nu = (0,0,....,0,-1) [/mm]
F ist das Vekrorfeld: [mm] [mm] F=(0,0,....,0,-\frac{1}{\parallel y-x \parallel^n})
[/mm]
[mm] \Rightarrow div F = n*(}{\frac{y_{n}-x_{n}}{\parallel y-x \parallel^{n+2}}
Dann gilt also:
[mm]\frac{2x_{n}}{n*\alpha_{n}}\integral_{\partial H}{\frac{1}{\parallel y-x \parallel^n}dS(y)}=\frac{2x_{n}}{\alpha_{n}}\integral_{H}{\frac{y_{n}-x_{n}}{\parallel y-x \parallel^{n+2}}dS(y)}=.... [/mm], [/mm]
ab hier weiss ich nicht mehr weiter. Muss man die Ableitung vielleicht garnicht ausführen sondern vor das Integral ziehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Mi 30.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ich hatte den Verdacht, dass das Integral mit der Greenschen Funktion des n-dimensionalen Laplace-Operators zu tun hat und bin nach etwas Suchen ![[]](/images/popup.gif) in diesen Lecture Notes fündig geworden.
Das Integral lässt sich direkt ausrechnen: das Integrationsgebiet ist der [mm]\IR^{n-1}[/mm] in Form der Hyperebene [mm]x_n=0[/mm]. Zerlege daher
[mm]\|x-y\|^n = \left(x_n^2 + \summe_{k=1}^{n-1} (y_k-x_k)^2 \right)^{n/2} [/mm]
Lege dein Koordinatensystem so, dass [mm]x_1=\dots=x_{n-1}=0[/mm] und mache die Substitution [mm]y\rightarrow x_n*y[/mm]. Dann (n-1)-dimensionale Polarkoordinaten.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:40 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo!
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> > Zeigen sie, dass gilt:
> > [mm]\frac{2x_{n}}{n*\alpha_{n}}\integral_{\partial H}{\frac{1}{\parallel y-x \parallel^n}dS(y)}=1 [/mm],
>
> >
> > wobei [mm]\alpha_{n}[/mm] das n-dimensionale Volumen der
> > Einheitskugel und [mm]H= \{x \in \IR^n : x_{n} > 0 \}[/mm] ist.
> > Hi zusammen! Also ich hab absolut keine Ahnung, wie ich
> > das machen soll, kann mir da bitte jemand helfen?!
>
> Ich würde es mit dem Satz von Gauß probieren.
>
Nur leider ist weder H noch [mm]\partial H[/mm] kompakt, weswegen sich der Satz von Gauß nicht anwenden lässt.
> H ist der obere Halbraum, [mm]\partial H[/mm] die Hyperebene [mm]x_n=0[/mm].
> Mit dem Satz von Gauß machst du aus dem Integral eines über
> H, das du dann mit in n-dimensionalen Polarkoordinaten
> ausrechnest.
>
> Viele Grüße
> Rainer
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 10:13 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
Also ich hab beide Links durchgesehen und in keinem sah ich eine Verallgemeinerung des Gaußschen Satzes auf unbeschränkte Gebiete.
Im ersten Link wird ja ein Integral über Hyperflächen definiert und genau das willst du hier wohl verwenden, oder?
Das hat aber (so wie ich das sehe) mit dem Satz von Gauß nur die Beweisidee gemein.
Könntest du bitte die Sätze die du hier aus den Links verwenden willst mit ihren Nummern angeben?
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 10:35 Sa 06.09.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ich hab beide Links durchgesehen und in keinem sah ich
> eine Verallgemeinerung des Gaußschen Satzes auf
> unbeschränkte Gebiete.
Ich habe ja auch von beschränkten Gebieten geschrieben.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 10:53 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo!
>
> > Also ich hab beide Links durchgesehen und in keinem sah ich
> > eine Verallgemeinerung des Gaußschen Satzes auf
> > unbeschränkte Gebiete.
>
> Ich habe ja auch von beschränkten Gebieten geschrieben.
>
> Viele Grüße
> Rainer
O....ähh.... ja. Richtig. Lesen sollte man können ^^
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