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Integration über Indikatorfunk: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:14 Sa 22.09.2007
Autor: Mathec

Aufgabe
Zeigen Sie: Für eine reelle Zufallsvariable X mit [mm] X\ge0 [/mm] gilt:
EX = [mm] \integral_{0}^{\infty}{(1-F(x)) dx} [/mm]

Der Beweis aus unserem Skript fängt auf der rechten Seite an und schließt dann auf EX. Bei einem Schritt weiß ich absolut nicht weiter:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x_{(t,\infty)}(X)dt} [/mm] = X
[mm] (x_{A}(X) [/mm] sei hier die Indikatorfunktion)

Ich hoffe, mir kann jemand helfen! Bin fast am Verzweifeln :-(

        
Bezug
Integration über Indikatorfunk: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Sa 22.09.2007
Autor: Blech


> Zeigen Sie: Für eine reelle Zufallsvariable X mit [mm]X\ge0[/mm]
> gilt:
>  EX = [mm]\integral_{0}^{\infty}{(1-F(x)) dx}[/mm]
>  Der Beweis aus
> unserem Skript fängt auf der rechten Seite an und schließt
> dann auf EX. Bei einem Schritt weiß ich absolut nicht
> weiter:
>  [mm]\integral_{0}^{\infty}{x_{(t,\infty)}(X)dt}[/mm] = X
>   [mm](x_{A}(X)[/mm] sei hier die Indikatorfunktion)

[mm]\chi_{(t,\infty)}(X) = \begin{cases}1,& f"ur\ t \leq X\\ 0,& f"ur\ t > X\end{cases}[/mm]
[mm]\Rightarrow \integral_{0}^{\infty}{\chi_{(t,\infty)}(X)\ dt} = \integral_{0}^{X}{1\ dt} = X[/mm]


Bezug
                
Bezug
Integration über Indikatorfunk: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 So 23.09.2007
Autor: Mathec

Hi!
Das klingt logisch und dann würde ich das auch verstehen, aber warum geht das Integral dann nur bis X und nicht mehr bis "unendlich"????
Das ist das, was ich nicht verstehe!!!

Lieben Dank
Mathec

Bezug
                        
Bezug
Integration über Indikatorfunk: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:15 So 23.09.2007
Autor: Blech


> Hi!
>  Das klingt logisch und dann würde ich das auch verstehen,
> aber warum geht das Integral dann nur bis X und nicht mehr
> bis "unendlich"????
>  Das ist das, was ich nicht verstehe!!!

Weil die Indikatorfunktion die Integrationsgrenzen verändert. Bzw. sie sorgt dafür, daß die zu integrierende Funktion (in Deinem Beispiel 1) außerhalb des von der Indikatorfunktion vorgegebenen Bereichs gleich 0 ist, was den gleichen Effekt hat:

[mm]\integral_{A}{f(t)\chi_{B}(t)\ dt}= \integral_{A\cap B}{f(t)\ dt}[/mm]

In diesem Fall ist es ein bißchen anders, weil wir nicht [mm]\chi_B(t)[/mm] haben sondern [mm]\chi_{B(t)}(a)[/mm] (a fest). Aber:

[mm]\chi_{(t,\infty)}(X) = \begin{cases}1,& f"ur\ t < X\\ 0,& f"ur\ t \geq X\end{cases} = \chi_{(-\infty,X)}(t)[/mm]

(Hier hatte ich oben einen Fehler drin. es muß [mm]t
[mm]\Rightarrow \integral_{0}^{\infty}{\chi_{(t,\infty)}(X)\ dt} = \integral_{0}^{\infty}{\chi_{(-\infty,X)}(t)\ dt} =\integral_{0}^{X}{1\ dt} + \integral_{X}^{\infty}{0\ dt} = X[/mm]

> Lieben Dank
>  Mathec


Bezug
                                
Bezug
Integration über Indikatorfunk: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:46 So 23.09.2007
Autor: Mathec

Aha :-) Habs nun verstanden! Danke für deine Erklärung!!!

Mathec

Bezug
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