Integration über Maß / Borel < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \integral_{\IR}{(x-2) d \nu (x)} [/mm] für das maß [mm] \nu [/mm] auf [mm] \mathcal{B}^1 [/mm] mit [mm] \nu(A) [/mm] = 2, falls 7 [mm] \in [/mm] A und [mm] \nu(A) [/mm] = 0 sonst. |
Huhu zusammen!
Ich habe mir gedacht, dass Integral so auseinander zu ziehen:
[mm] \integral_{\IR \backslash 7}{(x-2) d \nu (x)} [/mm] + [mm] \integral_{7}{(x-2) d \nu (x)}
[/mm]
Nun weiß ich nicht, ob man das Maß als x einsetzten müsste, ich würde einfach multiplizieren und schon als Endergebnis
2(x-2) stehen lassen, was meint ihr?
Es gäbe natürlich die Methode, [mm] \IR [/mm] als überabzählbare Vereinigung halboffener Intervalle zu schreiben, aber dann wäre das Integral über dem Intervall nicht eindeutig ( Da man ja 7 [mm] \in [/mm] (- [mm] \infty, [/mm] 7 ] als auch [mm] \in [/mm] (6,8] sehen könnte. und die Integralgrenzen nicht fest wären)
Hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen!
Lieben Gruß,
Eve
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:47 Do 30.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Wir setzen $A: [mm] =\{7\}$ [/mm] und $B:= [mm] \IR \setminus [/mm] A.$ Weiter sei $f(x):=x-2$
Dann ist
[mm] $\integral_{\IR}{f(x) d \nu (x)} [/mm] = [mm] \integral_{A}{f(x) d \nu (x)} +\integral_{B}{f(x) d \nu (x)} [/mm] $
Wegen f(7)=5 ist [mm] \integral_{A}{f(x) d \nu (x)}=5* \nu(A)=10.
[/mm]
Nun zeige Du: [mm] \integral_{B}{f(x) d \nu (x)}=0.
[/mm]
FRED
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