Integration und Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1) Rechnen sie das Integral schrittweise mit der partiellen Integration aus
[mm] \integral_{3}^{5}{f(4x*(5x^2-2)) dx}
[/mm]
2) Benutzen sie die Substitution, um das Integral zu bestimmen
[mm] \integral_{0}^{4}{f(\bruch{x}{(x^2+1)^2}) dx}
[/mm]
3) Überlege, wo der Integrand nicht definiert ist und berechne dann das uneigentliches Integral
[mm] \integral_{-2}^{0}{f(\bruch{1}{(x+2)^0,5}) dx} [/mm] |
Ich habe massive Probleme die drei Aufgaben zu lösen. Ich mach den Anfang . Könnt ihr an der Stelle, indem ich nicht weiter kommen kann, übersichtlich weiter machen?
1)
u= 4x
v´= [mm] (5x^2-2)
[/mm]
[mm] \integral_{3}^{5}{f(4x*(5x^2-2)) dx}
[/mm]
= [mm] [4x*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{10}x*(5x^2-2)^2]-\integral_{3}^{5}{f(4*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{10}x*(5x^2-2)^2)) dx}
[/mm]
= [mm] [4x*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{10}x*(5x^2-2)^2]- [2x*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{10}x^2....???]-\integral_{3}^{5}{f(?) dx}
[/mm]
Ihr könnt diese Aufgabe einmal nachrechnen. So wie ich es gerechnet hatte, nimmt die partielle Integration keine Ende, weil letzt endlich zum Schluss immer zwei Produkte heraus kommen. Mache ich etwas falsch oder ist die Aufgabe nicht korrekt?
[mm] 2)\integral_{0}^{4}{f(\bruch{x}{(x^2+1)^2}) dx}= \integral_{0}^{4}{f(\bruch{1}{(x^2+1)^2}*\bruch{x}{2x}) dx}= \bruch{1}{2}*\integral_{g(a)}^{g(b)}{f(\bruch{1}{(z)^2}) dx}= [-\bruch{1}{3}*(z)^{-3}]
[/mm]
Ist die Vorgehensweise richtig? Wenn ja, dann könnt ihr es bitte weiter führen, weil ich nicht weiß, wie es weiter geht.
3) Im GTR habe ich die Funktion in die Wertetabelle eingegeben. -2 und alle Zahlen, die unter -2 leigen, sind nicht definiert. Alle Zahlen, die oberhalb des -2 liegen, d.h. (R+) und (R-) ohne -2 und (-) unendlich, sind einsetzbar.
lg Sunshine :)
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Hallo sunshine!
zu 1)
hier hast du die Stammfunktion von 5x²-2 falsch gebildet.
Machen wir das man von Anfang an:
Für die partielle Integration gilt [mm] \integral_{}^{}{u*v'}=[u*v]-\integral_{}^{}{u'*v}
[/mm]
u=4x u'=4
v'=5x²-2 [mm] v=\bruch{5}{3}x^{3}-2x
[/mm]
Jetzt einsetzen und du erhälst
[mm] \integral_{3}^{5}{f(4x*(5x^2-2)) dx}=4[x*(\bruch{5}{3}x^{3}-2x)]_{3}^{5}-4\integral_{3}^{5}{(\bruch{5}{3}x^{3}-2x)dx}
[/mm]
Jetzt kannst du ohne Probleme weiter machen...
zu 2)
Hier in der Aufgabe steht, dass du substituieren musst. Für die Funktion musst du sozusagen die Kettenregel umgekehrt anwenden, damit du zur Stammfunktion gelangst.
[mm] \integral_{0}^{4}{f(\bruch{x}{(x^2+1)^2}) dx}
[/mm]
Du substituierst mit t=x²+1
[mm] t'=\bruch{dt}{dx}=2x
[/mm]
also
[mm] dx=\bruch{dt}{2x}
[/mm]
Jetzt haben wir
[mm] 2\integral_{t(0)}^{t(4)}{f(\bruch{1}{t^2}) dt} [/mm] (x kürzt sich nämlich weg wenn du für [mm] dx=\bruch{dt}{2x} [/mm] einsetzt)
edit:Die Grenzen werden verschoben. Natürlich muss da auch 0,5 vor dem Integral stehen und nicht 2.
jetzt müsste die 2 klappen, darfst halt am Ende nicht vergessen, dass du rücksubstituieren musst.
zu 3)
deine Überlegungen sich schon gut, nur solltest du diese präziser formulieren. Die Anweisung lautet ja, dass du das uneigentliche Integral ausrechnen sollst. Bei deinen Überlegung muss dann die untere Grenze [mm] -\infty [/mm] sein.
[mm] \integral_{b}^{0}{f(\bruch{1}{(x+2)^{0,5}}) dx}
[/mm]
[mm] =\limes_{b\rightarrow-\infty}(2(b+2)^{0,5})
[/mm]
lieben Gruss defjam
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Danke für die ausführliche Beschreibung!
Meine Lösung zu Nr.1
(Mein Fehler bestand darin, dass ich die Kettenregel einfach benutzt habe)
[mm] =[4x*(\bruch{5}{3}x^3-2x)]-[4*(\bruch{5}{12}x^4-x^2)]
[/mm]
Meine Lösung zu Nr.2
[mm] =2*[-\bruch{1}{x^2+1}] [/mm] in den Grenzen von 0 bis 4
Nr. 3 konnte ich nicht ganz nachvollziehen. Könnte es nicht sein, dass ich die Grenzen verändern darf?
Ich hatte geschrieben, dass alles unter -2 nicht definierbar ist. Könnte ich statt [mm] \integral_{-2}^{0}{f(x) dx} [/mm] die folgende Grenzen einsetzten?: [mm] \integral_{\infty}^{-1.99periode}{f(x) dx}?
[/mm]
Okay, es sieht nicht logisch aus, weil ich nicht rechnerisch bestimmen kann, wie ich auf die -1.99 periode gekommen bin. Ich bleibe lieber bei ihrer Lösungsvorschlag.
Dankeschön! Es ist zeitlich etwas spät und deshalb habe ich den Lösungsweg meiner Lösungen nicht vollständig beschrieben aber ich gehe davon aus, dass sie richtig sind.
lg Sunshine107
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:52 Mi 05.03.2008 | | Autor: | defjam123 |
hey
zu 2)
wenn du substituiert muss du dann die Grenzen dementsprechend verschieben. Hab es vergessen zu schreiben
Gruss
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Hallo Sunshine,
> Danke für die ausführliche Beschreibung!
>
> Meine Lösung zu Nr.1
> (Mein Fehler bestand darin, dass ich die Kettenregel
> einfach benutzt habe)
>
> [mm]=[4x*(\bruch{5}{3}x^3-2x)]-[4*(\bruch{5}{12}x^4-x^2)][/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das kannst du aber noch sehr vereinfachen und dann oder auch direkt die Grenzen einsetzen...
>
> Meine Lösung zu Nr.2
> [mm]=2*[-\bruch{1}{x^2+1}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
in den Grenzen von 0 bis 4
Fast, ich habe hier als Vorfaktor nicht 2, sondern $\frac{1}{2}$, ansonsten ist's richtig!
Und noch die Grenzen einsetzen und ausrechnen...
>
> Nr. 3 konnte ich nicht ganz nachvollziehen. Könnte es nicht
> sein, dass ich die Grenzen verändern darf?
> Ich hatte geschrieben, dass alles unter -2 nicht
> definierbar ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das stimmt zwar, aber hier interessierst du dich ja nur für den Bereich -2 bis 0
Der Bruch ist also nur genau für die untere Grenze x=-2 nicht definiert.
Du musst also das folgende (uneigentliche) Integral berechnen:
Setze für die untere Grenze x=\blue{a} und berechne $\lim\limits_{\blue{a\to-2}}\int\limits_{a}^{0}\frac{1}{(x+2)^{0,5}} \ dx}$
Also berechne das Integral, setze die Grenzen a und 0 ein und bestimme von dem Ausdruck, den du dabei erhältst, den $\lim\limits_{a\to-2}$
Könnte ich statt [mm]\integral_{-2}^{0}{f(x) dx}[/mm]
> die folgende Grenzen einsetzten?:
> [mm]\integral_{\infty}^{-1.99periode}{f(x) dx}?[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ich glaube, der "Tipp" im obigen post, den [mm] $\lim\limits_{b\to-\infty}$ [/mm] zu betrachten, hat dich etwas verwirrt, das kann ja, wie du schon erkannt hast, schwerlich klappen, denn für [mm] $x\le [/mm] -2$ ist der Integrand nicht definiert.
> Okay, es sieht
> nicht logisch aus, weil ich nicht rechnerisch bestimmen
> kann, wie ich auf die -1.99 periode gekommen bin. Ich
> bleibe lieber bei ihrer Lösungsvorschlag.
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:44 Mi 05.03.2008 | | Autor: | defjam123 |
hab verstanden, dass ich das uneigentlich Integral mit der unteren Grenze [mm] -\infty [/mm] ausrechne, um zu zeigen, dass [mm] -\infty [/mm] nicht definiert ist.
Gruss
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Ich habe versucht, die Aufgaben so weit es geht zu vereinfachen und meine Fehler einzuräumen. Kontrolliert bitte, ob es richtig ist.
zu 1) Die vereinfachte Form der Aufleitung [mm] [4x(\bruch{5}{3}x^3-2x]-[4*(\bruch{5}{12}x^4-x^2)] [/mm] lautet [mm] [5x^4-4x^2]
[/mm]
zu 2) Ich habe 2) noch einmal ausgerechnet, weil ich wahrscheinlich etwas falsch gemacht habe.
Dort kam als Aufleitung folgendes raus: [mm] \bruch{1}{2}[-\bruch{1}{x^2+1}]
[/mm]
Wenn ich die Grenzen 0 bis 4 einsetzte, kommt 0,47059 raus
zu 3) Ich habe die Aufgabe komplett neu ausgerechnet und ich kam auf einen komsichen Ergebnis:
Meine Vorgehensweise
[mm] \integral_{-\infty}^{0}{f(\bruch{1}{(x+2)^0,5}) dx}
[/mm]
[mm] \limes_{b\rightarrow\-infty}=\integral_{-\infty}^{0}{f(\bruch{1}{(x+2)^0,5}) dx}
[/mm]
Die Aufleitung lautet [mm] [2(x+2)^0,5] [/mm] von den Grenzen b bis 0
Wenn ich die Grenzen einsetzte, kommt [mm] \limes_{b\rightarrow-\infty}=2,8284 [/mm] raus....irgendwie komsisch oder?
Überprüft es bitte
lg Sunshine :)
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Hallo ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]") ,
> zu 1) Die vereinfachte Form der Aufleitung
> [mm][4x(\bruch{5}{3}x^3-2x]-[4*(\bruch{5}{12}x^4-x^2)][/mm] lautet
> [mm][5x^4-4x^2][/mm]
sehr gut! Denk aber daran, dass du noch die Grenzen einsetzen musst 
>
> zu 2) Ich habe 2) noch einmal ausgerechnet, weil ich
> wahrscheinlich etwas falsch gemacht habe.
> Dort kam als Aufleitung folgendes raus:
> [mm]\bruch{1}{2}[-\bruch{1}{x^2+1}][/mm]
> Wenn ich die Grenzen 0 bis 4 einsetzte, kommt 0,47059
> raus
Schreib's doch genauer als Bruch auf, das ist [mm] $\frac{8}{17}$
[/mm]
>
> zu 3) Ich habe die Aufgabe komplett neu ausgerechnet und
> ich kam auf einen komsichen Ergebnis:
> Meine Vorgehensweise
>
> [mm]\integral_{\red{-2}}^{0}{f(\bruch{1}{(x+2)^0,5}) dx}[/mm]
>
> [mm]\limes_{b\rightarrow-\red{2}}=\integral_{\red{b}}^{0}{f(\bruch{1}{(x+2)^0,5}) dx}[/mm]
>
> Die Aufleitung lautet [mm][2(x+2)^0,5][/mm] von den Grenzen b bis 0
> Wenn ich die Grenzen einsetzte, kommt
erst einmal raus: [mm] $2\cdot{}\sqrt{2}-2\cdot{}\sqrt{b+2}$
[/mm]
Davon dann der
> [mm]\limes_{b\rightarrow-\red{2}}\red{(2\cdot{}\sqrt{2}-2\cdot{}\sqrt{b+2})}=2,8284[/mm] raus genauer: [mm] $2\cdot{}\sqrt{2}$
[/mm]
Das Ergebnis "passt" zur Aufgabe, du meinst es auch richtig, hast aber vorher "Kraut und Rüben" aufgeschrieben
>....irgendwie
> komsisch oder?
>
> Überprüft es bitte
> lg Sunshine :)
Gruß
schachuzipus
PS: Wenn ein Exponent länger als 1 Zeichen ist, setze ihn in geschweifte Klammern { }
Also (x+2)^{0,5} ergibt [mm] (x+2)^{0,5}
[/mm]
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Hoffentlich kann ich an diesem Freitag meine LK-Klausur in ruhe schreiben ^^
lg Sunshine
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| Aufgabe | | Der Graph der Funktion f und die x- Achse begrenzen eine Fläche. Durch die Drehung der Funktion [mm] f(x)=(x(4-x^2))^{0,5} (x\ge3) [/mm] um die x-Achse entsteht ein Rotationskörper. Berechnen sie dessen Volumen. |
Ich habe doch viele Fragen :)
Ich glaube, dass ich diese Aufgabe schon machen kann. Mein Problem ist nur, dass ich die Grenzen nicht bestimmen kann.
Ansonsten müsste es wie gefolgt aussehen:
[mm] \pi\integral_{?}^{3}{f(x(x^2-4) dx} [/mm] (Die 0,5er Potenz löst sich auf, weil die Funktion für die Volumenbestimmung [mm] \pi\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx} [/mm] lautet.
Die partielle Integration muss angewandt werden
[mm] \pi\integral_{?}^{3}{f(x(x^2-4) dx}= [/mm]
[mm] \pi [x(\bruch{1}{3}x^3-4x)]-integral_{?}^{3}{f(\bruch{1}{3}x^3-4x))dx}
[/mm]
[mm] =\pi ([x(\bruch{1}{3}x^3-4x)]- [/mm] [- [mm] \bruch{1}{12}x^4+2x^2])
[/mm]
[mm] =\pi [\bruch{1}{4}x^4-2x^2]
[/mm]
Wie finde ich die Grenzen?
lg Sunshine
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Hallo Sunshine,
mache doch bitte für neue Fragen, die nix mit der Ausgangsfrage zu tun haben, einen neuen thread auf, sonst wird's sehr unübersichtlich
> Der Graph der Funktion f und die x- Achse begrenzen eine
> Fläche. Durch die Drehung der Funktion
> [mm]f(x)=(x(4-x^2))^{0,5} (x\ge3)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
?? Wie kommst du auf $x\ge 3$ ??
Die Funktion ist doch $f(x)=\sqrt{x\cdot{}(4-x^2)}$
Die ist doch für $x>2$ gar nicht definiert ...
Meinst du nicht eher $x\ge 0$?
> um die x-Achse entsteht ein
> Rotationskörper. Berechnen sie dessen Volumen.
> Ich habe doch viele Fragen :)
>
> Ich glaube, dass ich diese Aufgabe schon machen kann. Mein
> Problem ist nur, dass ich die Grenzen nicht bestimmen
> kann.
Die Grenzen sind die Schnittstellen der Funktion mit der x-Achse, also die Nullstellen.
Berechne also $f(x)=0$. Da solltest du auf 3 Nullstellen kommen,
wegen x\ge 0 kommen nur 2 Nullstellen n_1 und n_2 in Frage
Dann berechne $\pi\cdot{}\int\limits_{n_1}^{n_2}(f(x))^2 \ dx}$
>
> Ansonsten müsste es wie gefolgt aussehen:
>
> [mm]\pi\integral_{?}^{3}{f(x(x^2-4) dx}[/mm]
s.o. die obere Grenze 3 haut nicht hin... und ist [mm] (f(x))^2 [/mm] nicht [mm] x(4-x^2) [/mm] ?
Wieso hast du den Klammerausdruck umgedreht? Dabei geht dir doch ein Minuszeichen flöten
> (Die 0,5er Potenz löst
> sich auf, weil die Funktion für die Volumenbestimmung
> [mm]\pi\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}[/mm] lautet.
>
> Die partielle Integration muss angewandt werden
Brauchste gar nicht, ist zu viel Aufwand, multipliziere doch die Klammer aus:
[mm] $x(4-x^2)=4x-x^3$ [/mm] und das kannst du ja im Schlaf integrieren
>
> [mm]\pi\integral_{?}^{3}{f(x(x^2-4) dx}=[/mm]
> [mm]\pi [x(\bruch{1}{3}x^3-4x)]-integral_{?}^{3}{f(\bruch{1}{3}x^3-4x))dx}[/mm]
>
> [mm]=\pi ([x(\bruch{1}{3}x^3-4x)]-[/mm] [- [mm]\bruch{1}{12}x^4+2x^2])[/mm]
> [mm]=\pi [\bruch{1}{4}x^4-2x^2][/mm]
>
> Wie finde ich die Grenzen?
>
> lg Sunshine
Gruß
schachuzipus
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Anscheinend habe ich mich zusehr mit der partiellen Integration beschäftigt :D
[mm] 0\ge [/mm] 3 stand in der Aufgabe...ich bin nicht selbst darauf gekommen.
Ich habe die Nullstellen bestimmt und dort kamen N1= -2, N2= 0 und N3= 2 raus.
Die Fläche zwischen -2 und 0 liegt unter der x-Achse. Ich muss also mit Betragsstrichen Ausrechnen, oder?
[mm] \pi\integral_{-2}^{0}{f(x(4-x^2) dx}|\pi\integral_{0}^{2}{f(x(4-x^2)dx}|
[/mm]
Die Aufleitung lautet [mm] [2x^2-\bruch{1}{4}x^4]*\pi
[/mm]
Ich muss dann folgendermaßen einsetzten:
[mm] ([2*0^2-\bruch{1}{4}*0^4]-[2*(-2)^2-\bruch{1}{4}*(-2)^4])+|([2*2^2-\bruch{1}{4}*2^4]-[2*0^2-\bruch{1}{4}*0^4])|
[/mm]
stimmt es?
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Okay! Mit der Zeichnung ist es mir klarer geworden! Ich hatte einfach die Nullstellen von [mm] x(4-x^2) [/mm] gesucht obwohl ich die Nullstellen von [mm] (x(4-x^2))^{0,5} [/mm] suchen musste. Natürlich sind die Nullstellen in diesem Fall bei 0 und 2.
Nachdem ich es aufgeleitet habe und die Grenzen einsetzte, kommt folgendes raus: [mm] \pi f(\integral_{-2}^{0}{f(x(4-x^2) dx}= [/mm] 12,56637 VE raus
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Hallo nochmal,
> Okay! Mit der Zeichnung ist es mir klarer geworden! Ich
> hatte einfach die Nullstellen von [mm]x(4-x^2)[/mm] gesucht obwohl
> ich die Nullstellen von [mm](x(4-x^2))^{0,5}[/mm] suchen musste.
Diese beiden Funktionen haben doch beide dieselben NST [mm] n_1=-2, n_2=0, n_3=2
[/mm]
> Natürlich sind die Nullstellen in diesem Fall bei 0 und 2.
und bei -2
>
> Nachdem ich es aufgeleitet habe und die Grenzen einsetzte,
> kommt folgendes raus: [mm]\pi f(\integral_{-2}^{0}{f(x(4-x^2) dx}=[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wieso diese Grenzen, ich habe es doch oben geschrieben und noch den Graphen angehängt:
Die Funktion ist zwischen -2 und 0 nicht definiert.
Für -2<x<0 steht unter der Wurzel was Negatives ...
Die Grenzen des Integrals sind 0 (untere) und 2 (obere)
Steht alles oben --> genauer lesen
LG
schachuzipus
> 12,56637 VE raus
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NNNNEEEEIIIIINNN!!!!!!
Ich hatte einfach das Integral von der vorherigen Aufgabe kopiert!!!!!!
Nur der Ausdruck ist falsch, ok? Denk dir einfach das (-) vor der 2 weg!
Das war nicht mein Fehler!!!...aber meine VE müsste stimmen, weil ich so oder so 0 und 2 eingesetzt habe
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Hallo,
ja, dann stimmt dein Ergebnis.
Ich hatte gar nicht so genau aufs Endergebnis geschaut und nicht gesehen, dass es [mm] $=4\pi$ [/mm] ist
Lass besser in der Klausur Brüche oder Wurzelausdrücke stehen, als sie so abzurunden.
Also besser [mm] 4\pi [/mm] als 12,56....
Viel Erfolg bei der Klausur dann
Lieben Gruß
schachuzipus
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Dankeschön für ihre Hilfe...ich schreibe es aber Freitag , d.h. vlt. kann ich noch morgen massenaufgaben hier hin stellen . Ich werde versuchen, die Aufgaben zu machen und falls es nicht weiter geht, dann werde ich es hier hin stellen.
lg Sunshine
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Funkyplot