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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Markuss |
| Aufgabe | Integriere
[mm] \integral{x*n*(1-e^{-\lambda*x})^{n-1}*(\lambda*e^{-\lambda*x})dx} [/mm] |
So hallo, bin gerade am Verzweifeln.
Ich hab versucht das ganze mit der Producktregel auseinanderzunehmen, wobei
u(x)=x
[mm] v'(x)=(1-e^{-\lambda*x})^{n-1}*(\lambda*e^{-\lambda*x})
[/mm]
u'(x)=1
nach der Substitution [mm] \integral{[f(x)^n]*f(x)} dx=1/(n+1)*[f(x)]^{n+1} [/mm] ist
[mm] v(x)=1/n*(1-e^{-\lambda*x})^{n} [/mm]
damit bekomme ich:
[mm] =x*1/n*(1-e^{-\lambda*x})^{n} [/mm] - [mm] \integral{(1-e^{-\lambda*x})^{n} dx}
[/mm]
soweit so gut, aber wie löse ich jetzt das letzte Integral hinten auf?
Substituieren macht keinen Sinn, da ja nur ein Faktor vorhanden ist und auch sonst fällt mir nichts ein... selbst der Taschenrechner streikt an der stellen.
Wäre für jede Hilfe dankbar.
BTW:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Makruss,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wende hier folgende Integration an: $z \ := \ [mm] 1-e^{-\lambda*x}$ [/mm] .
Dann sollte es ziemlich schnell gehen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Markuss |
OK, dann
[mm] z=1-x^{-\lambda*x}
[/mm]
[mm] dx=dz/\lambda*e^{-\lambda*x}
[/mm]
jetzt das ganze in das Integral eingesetzt
[mm] \integral_{}^{}{z^n/(\lambda*e^{-\lambda*x)} dz}
[/mm]
[mm] =1/(n+1)*(z)^{n+1}/(\lambda*e^{-\lambda*x})
[/mm]
und rücksubstituiert:
[mm] =(1/(n+1))*(1-e^{-\lambda*x})^{n+1}/(\lambda*e^{-\lambda*x)}
[/mm]
aber wenn ich das zur Probe differenziere kommt wieder was ganz anderes raus... hab ich irgendwo nen Fehler gemacht?
Edit: Fehler in der Rechnung behoben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Markuss,
> OK, dann
> [mm]z=1-x^{-\lambda*x}[/mm]
> [mm]dx=dz/\lambda*e^{-\lambda*x}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jetzt das ganze in das Integral eingesetzt
>
> [mm]\integral_{}^{}{z^n/(\lambda*e^{-\lambda*x)} dz}[/mm]
Da fehlt noch was: den Term [mm](\lambda*e^{-\lambda x})[/mm] musst du auch mitnehmen (der kürzt sich dann ja ganz wunderbar weg).
> [mm]=n*(z)^{n-1}/(\lambda*e^{-\lambda*x})[/mm]
>
> und rücksubstituiert:
>
> [mm]=n*(1-e^{-\lambda*x})^{n-1}/(\lambda*e^{-\lambda*x)}[/mm]
>
> aber wenn ich das zur Probe differenziere kommt wieder was
> ganz anderes raus... hab ich irgendwo nen Fehler gemacht?
>
> [mm]n*(1-e^{-\lambda*x})^{n-1}/(\lambda*e^{-\lambda*x)}[/mm] dx
>
> [mm]=(n*(\lambda*e^{-\lambda*x})*(n-1)*(1-e^{-\lambda*x})^{n-2}[/mm]
> - [mm](n*(1-e^{-\lambda*x})^{n-1}*(-\lambda^2*e^{-\lambda*x}))[/mm]
> / [mm](\lambda^2*e^{-2*\lambda*x})[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Markuss |
Ich würd mir ja selber wünschen, das es hinhaut, aber dann wäre die Stammfunktion ja
[mm] 1/(n+1)*(1-e^{-\lambda*x})^{n+1}
[/mm]
und die Ableitung
[mm] (1-e^{-\lambda*x})^{n}*\lambda*e^{-\lambda*x}
[/mm]
anstatt wie bei der korregierten Fassung oben:
[mm] ((1-e^{-\lambda*x})^{n}*(\lambda*e^{-\lambda*x}))/(\lambda^2*e^{-2*\lambda*x})
[/mm]
- [mm] (1/(n+1)*(1-e^{-\lambda*x})^{n+1})*(-\lambda^2*e^{-\lambda*x})/(\lambda^2*e^{-2*\lambda*x})
[/mm]
[mm] =(1-e^{-\lambda*x})^{n})/(\lambda^*e^{-*\lambda*x}) [/mm] - [mm] (1/(n+1)*(1-e^{-\lambda*x})^{n+1})*(-1)/(e^{-\lambda*x})
[/mm]
= [mm] ((1-e^{-\lambda*x})^{n}*(n+1)+(1-e^{-\lambda*x})^{n+1})/((n+1)*(e^{-\lambda*x}))
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
ich glaube, du hast da grad nen Denkfehler drin...
Es ist doch
[mm]\int n*(1-e^{-\lambda x})^{n-1}*(\lambda e^{-\lambda x})\ dx[/mm]
zu berechnen.
Mit der Substitution [mm]z:=1-e^{-\lambda x}[/mm] folgt [mm]dx=\frac{dz}{\lambda e^{-\lambda x}}[/mm] und damit
[mm]\int n*\red{(1-e^{-\lambda x})}^{n-1}*(\lambda e^{-\lambda x})\ \green{dx}=\int n* \red{z}^{n-1}*(\lambda e^{-\lambda x})\ \green{\frac{dz}{\lambda e^{-\lambda x}}}=\int n*z^{n-1}\ dz[/mm].
So, jetzt kommst du bestimmt alleine weiter...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 So 22.01.2012 | | Autor: | Markuss |
ho, großes entschuldigung, ich hab da ein x aus meiner Versuchsrechnung ganz in der Aufgabenstellung oben vergessen... deshalb wahrscheinlich die Missverständnisse.
Aber Trotzdem großes Danke soweit
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