Integration von Beträgen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Di 19.06.2012 | | Autor: | Tony1234 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{-3}^{1}{|x+2| dx} [/mm] |
Hallo, eine frage zur Vorgehensweise... im SKript habe ich leider nur ein bsp gefunden & ich würde gerne wissen, ob dieses Vorgehen generell bei Integration von "Betrags-funktionen" Anwendung findent.
Zunächst die Nullstellen berechnen, um die neuen Integrationsgrenzen zu definieren:
[mm] \(x+2=0
[/mm]
[mm] \(x=-2
[/mm]
[mm] \integral_{-3}^{-2}{-(x+2) dx}+\integral_{-2}^{1}{(x+2) dx}
[/mm]
= [mm] [-(\bruch{1}{2}x^2+2x)]_{-3}^{-2}+[(\bruch{1}{2}x^2+2x)]_{-2}^{1}
[/mm]
↑ Wieso kommt hier ein Minus vor den term des 1. Integrals? würde man dies auch machen, wenn die Integrationsgrenzen positiv sind oder müsste ich dann die 0-stellen gar nicht erst berchnen?
=2-1,5+2,5+2
=5
Des weiteren wurden in der Übung die Nullstellen wie folgt berechnet...
[mm] x+2\le0
[/mm]
[mm] x\le-2
[/mm]
ist das korrekt/Notwendig ?was wäre, wenn ich eine quadratische/kubische funktion hätte?
|
|
| |
|
Hallo Tony1234,
> [mm]\integral_{-3}^{1}{|x+2| dx}[/mm]
> Hallo, eine frage zur
> Vorgehensweise... im SKript habe ich leider nur ein bsp
> gefunden & ich würde gerne wissen, ob dieses Vorgehen
> generell bei Integration von "Betrags-funktionen" Anwendung
> findent.
>
> Zunächst die Nullstellen berechnen, um die neuen
> Integrationsgrenzen zu definieren:
>
> [mm]\(x+2=0[/mm]
>
> [mm]\(x=-2[/mm]
>
> [mm]\integral_{-3}^{-2}{-(x+2) dx}+\integral_{-2}^{1}{(x+2) dx}[/mm]
>
> =
> [mm][-(\bruch{1}{2}x^2+2x)]_{-3}^{-2}+[(\bruch{1}{2}x^2+2x)]_{-2}^{1}[/mm]
>
> ↑ Wieso kommt hier ein Minus vor den term des 1.
> Integrals?
Du kannst doch schreiben [mm] $\int\limits_{-3}^{-2}{-(x+2) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\int\limits_{-3}^{-2}{(x+2) \ dx}$
[/mm]
Multiplikative Konstante kannst du aus dem Integral ziehen!
> würde man dies auch machen, wenn die
> Integrationsgrenzen positiv sind
Das hat damit nix zu tun
> oder müsste ich dann die
> 0-stellen gar nicht erst berchnen?
Das ist einfach nur eine Anwendung der DEFINITION des Betrages:
[mm]|z|=\begin{cases} z, & \mbox{fuer } z\ge 0 \\
-z, & \mbox{fuer } z<0 \end{cases}[/mm]
Hier mit [mm]z=x+2[/mm]
Also [mm]|x+2|=\begin{cases} (x+2), & \mbox{fuer } x+2\ge 0 \\
-(x+2), & \mbox{fuer } x+2<0 \end{cases}[/mm]
[mm]=\begin{cases} x+2, & \mbox{fuer } x\ge -2 \\
-(x+2), & \mbox{fuer } x<-2 \end{cases}[/mm]
Damit wurden dann die Grenzen für das Integral entsprechend aufgeteilt in [mm]-3[/mm] bis [mm]-2[/mm] - in diesem Bereich ist [mm]x+2<0[/mm], also [mm]|x+2|=-(x+2)[/mm] und in [mm]-2[/mm] bis [mm]1[/mm] - in diesem Bereich ist [mm]x+2\ge 0[/mm], also [mm]|x+2|=x+2[/mm]
>
> =2-1,5+2,5+2
>
> =5
>
>
> Des weiteren wurden in der Übung die Nullstellen wie folgt
> berechnet...
>
> [mm]x+2\le0[/mm]
>
> [mm]x\le-2[/mm]
Die Nullstelle berechnest du mit [mm]x+2\red = 0[/mm]
Das ist die "Nahtstelle", an der der Betrag das Vorzeichen wechselt - siehe Erklärung oben ...
>
> ist das korrekt/Notwendig ?was wäre, wenn ich eine
> quadratische/kubische funktion hätte?
Da musst du genauso überlegen, wann der Ausdruck im Betrag [mm]\ge 0[/mm] ist und wann er [mm]<0[/mm] ist.
Bsp. [mm]|x^2-1|[/mm]
Das ist [mm]=|(x-1)(x+1)|[/mm]
Wann ist das [mm]\ge 0[/mm] ?
Ein Produkt [mm]ab[/mm] ist [mm]\ge 0[/mm], wenn entweder beide Faktoren [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] [mm]\ge 0[/mm] sind oder aber beide Faktoren [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] [mm]\le 0[/mm] sind.
Da gibt es also einige Fälle zu unterscheiden. Wann ist das denn in dem Bsp. der Fall? Übeleg das mal weiter ...
Genauso überlegt man sich, wann [mm]|x^2-1|=|(x-1)(x+1)|<0[/mm] ist:
[mm]ab<0 \gdw (a<0 \ \text{und} \ b>0)[/mm] oder [mm](a>0 \ \text{und} \ b<0)[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
