Integration von Brüchen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 So 06.07.2008 | | Autor: | mimmie |
| Aufgabe 1 | | [mm] f(x)=(3x^2-1)/(x(x^2-1)) [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] f(x)=(x^6-4x^5-4x^4-16x^2+60x-64)/(x^4-4x^3+8x^2-16x+16) [/mm] |
Hallo!
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Die Aufgabe lautet bei mir im Studium, dass ich jeweils von den beiden genannten Funktionen die Stammfunktion bilden soll. Allerdings habe ich so meine Probleme, was Brüche angeht. Ich habe zur zweiten Aufgabe auch die Lsg., aber ich habe keine Ahnung, wie man dort hinkommt. Ich erwarte auch gar nicht, dass mir jemand diese Aufgaben vorrechnet, aber vielleicht kann mir jemand ein Tipp geben, wie man da anfängt bzw. was überhaupt beim Bilden der Stammfunktionen bei Brüchen zubeachten ist? Oder gibt es ein Patentrezept?
LG und vielen Dank schonmal im vorraus,
Leonie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Das Stichwort lautet ![[]](/images/popup.gif) Partialbruchzerlegung. Das ist eigentlich ein Patentrezept für das Integrieren gebrochen rationaler Funktionen. Man zerlegt da die Brüche in solche, die nur noch lineare bzw. quadratische Terme im Nenner haben, das kann man dann immer mit ln und arctan lösen! Guck es dir mal an!
Zur Hilfe: Bei der Partialbruchzerlegung muss ein Bruch vorliegen, dessen Zählergrad kleiner als der des Nenners ist! Führe also bei Aufgabe 2 zunächst Polynomdivision durch! Eine doppelte NS vom Nenner der Aufgabe 2 ist x=2!
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 So 06.07.2008 | | Autor: | mimmie |
Ok, danke schon mal für den Tipp. Trotzdem stehen da jetzt nocch ein paar Fragezeichen.
> Das ist eigentlich ein Patentrezept für das Integrieren
> gebrochen rationaler Funktionen. Man zerlegt da die Brüche
> in solche, die nur noch lineare bzw. quadratische Terme im
> Nenner haben, das kann man dann immer mit ln und arctan
> lösen! Guck es dir mal an!
Warum kann man das dann mit ln und acrtan lösen. Wie kommt man da drauf?
> Zur Hilfe: Bei der Partialbruchzerlegung muss ein Bruch
> vorliegen, dessen Zählergrad kleiner als der des Nenners
> ist! Führe also bei Aufgabe 2 zunächst Polynomdivision
> durch! Eine doppelte NS vom Nenner der Aufgabe 2 ist x=2!
Ist die doppelte NS vom Nenner wichtig bei der Polynomdivision? Ich teile dabei doch erstmal ganz normal Zähler durch den Nenner, oder nicht? Wenn ich allerdings das mache, komme ich nicht sehr weit. Oder wie nutze ich dann die doppelte NS in dem ich den Zähler durch die NS teile?
Leonie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:14 Mo 07.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Wenn du nen Bruch 1/(x-a) integrierst hast du ln(x-a) Probe durch differenzieren.
2. wenn du [mm] 1/(x^2+a) [/mm] integrierst bringst dus auf die Form [mm] 1/(u^2+1) [/mm] und davon die Stammfkt ist arctan(u)
3. [mm] 1/(1-x^2) [/mm] hat die Stammfkt ArcTanh(x)
zur Division: du dividierst solange, bis der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, den Rest schreibst du als Bruch.
Damit du DANN den Nenner in Faktoren zerlegen kannst hat dir .. 2 Nullstellen mitgeteilt. Mit der Polynomdivision hat das nix zu tun.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Mo 07.07.2008 | | Autor: | mimmie |
> Hallo
> 1. Wenn du nen Bruch 1/(x-a) integrierst hast du ln(x-a)
> Probe durch differenzieren.
> 2. wenn du [mm]1/(x^2+a)[/mm] integrierst bringst dus auf die Form
> [mm]1/(u^2+1)[/mm] und davon die Stammfkt ist arctan(u)
> 3. [mm]1/(1-x^2)[/mm] hat die Stammfkt ArcTanh(x)
Ok, diesen Teil habe ich nun verstanden. Vielen dank für die Erlärung. Hänge aber immer noch bei der zweiten Aufgabe. Ich habe irgendwo einen Gedankenfehelr bei der PZB-Zerlegung. Ich werd mal schreiben, was ich soweit habe. Falls ich da schon irgendwo einen Gedankenfehler hab bitte bescheid sagen.
> zur Division: du dividierst solange, bis der Zählergrad
> kleiner als der Nennergrad ist, den Rest schreibst du als
> Bruch.
Hab ich gemacht. Dann erhalte ich mein Ergebnis der zweiten Aufg. [mm] x^2-4((-16x^3+124x-64)/(x^4-4x^3+8x^2-16x+16))
[/mm]
> Damit du DANN den Nenner in Faktoren zerlegen kannst hat
> dir .. 2 Nullstellen mitgeteilt. Mit der Polynomdivision
> hat das nix zu tun.
Demnach kommt dann [mm] (x^4-4x^3+8x^2-16x+16)/(x-2)^2 [/mm] = (a11/(x-2))+ [mm] (a12/(x-2)^2 [/mm] das ganze multipliziere ich dann mit [mm] (x-2)^2
[/mm]
somit erhalte ich folgende Gleichungssysteme:
[mm] x^4-4x^3+8x^2-16x+16=a11*(x-2)+a12
[/mm]
[mm] x^4-4x^3+8x^2-16x+16=a11*x-2a11+a12
[/mm]
und ab da habe ich einen Hänger. Setze ich nun überall für x die 2 ein? Wenn ja könnte ich doch die letze Gleichung nach a12 umstellen und hätte dann 0 als Ergebniss heraus. Aber was würde mir das dann bringen? Ich bleibe bei den meisten PZB- Zerlegungen an dieser Stelle hängen. Vielleicht könnt ihr mir auch noch einen Tipp geben, worauf man achten sollte.
LG Leonie
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Hallo!
> Hab ich gemacht. Dann erhalte ich mein Ergebnis der zweiten
> Aufg. [mm]x^2-4((-16x^3+124x-64)/(x^4-4x^3+8x^2-16x+16))[/mm]
Darauf komme ich nicht. Kontrollier das nochmal genau, bei meiner Polynomdivision erhalte ich
f(x) = [mm] x^{2}-12+(-4)*\bruch{x^{3}-16x^{2}+33x-32}{x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-16x+16}
[/mm]
> Demnach kommt dann [mm](x^4-4x^3+8x^2-16x+16)/(x-2)^2[/mm] =
> (a11/(x-2))+ [mm](a12/(x-2)^2[/mm] das ganze multipliziere ich
> dann mit [mm](x-2)^2[/mm]
Stopp! Der Nenner hat nicht nur die doppelte Nullstelle x = 2! Da musst du ebenfalls nochmal eine Polynomdivision machen, um die restlichen Nullstellen bzw. die anderen Linear/Quadrat-Faktoren herauszubekommen!
> somit erhalte ich folgende Gleichungssysteme:
> [mm]x^4-4x^3+8x^2-16x+16=a11*(x-2)+a12[/mm]
> [mm]x^4-4x^3+8x^2-16x+16=a11*x-2a11+a12[/mm]
Das ist jetzt zwar falsch, aber das Vorgehen wäre normalerweise, nach Aufstellung des Ansatzes die Gleichung mit dem gesamten Nenner von f(x) zu multiplizieren, sodass links nur noch der Zähler steht. Dann kann man verschiedene Verfahren verwenden, um die Unbekannten [mm] a_{11} [/mm] etc. herauszubekommen. Das was immer funktioniert, ist Koeffizientenvergleich, aber auch das Einsetzverfahren (x = 2 einsetzen) etc. dürfte hier fruchten und dir einen Variablenwert beschaffen 
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mo 07.07.2008 | | Autor: | mimmie |
> Darauf komme ich nicht. Kontrollier das nochmal genau, bei
> meiner Polynomdivision erhalte ich
>
> f(x) =
> [mm]x^{2}-12+(-4)*\bruch{x^{3}-16x^{2}+33x-32}{x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-16x+16}[/mm]
Hab ich gemacht. Hatte wirklich ein Rechenfehler drin. Aber ich komme auch nicht auf dein Ergebniss. Ich habe beim Bruch vor der [mm] x^3 [/mm] noch eine 8 übrig. ALso
f(x) =
> [mm]x^{2}-12+(-4)*\bruch{8x^{3}-16x^{2}+33x-32}{x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-16x+16}[/mm]
> > Demnach kommt dann [mm](x^4-4x^3+8x^2-16x+16)/(x-2)^2[/mm] =
> > (a11/(x-2))+ [mm](a12/(x-2)^2[/mm] das ganze multipliziere ich
> > dann mit [mm](x-2)^2[/mm]
> Stopp! Der Nenner hat nicht nur die doppelte Nullstelle x =
> 2! Da musst du ebenfalls nochmal eine Polynomdivision
> machen, um die restlichen Nullstellen bzw. die anderen
> Linear/Quadrat-Faktoren herauszubekommen!
Womit mache ich die zweite Polynomdivision? Mit weiteren NS, die ich erraten muss? Wenn wir schon dabei sind, woher hätte ich wissen müssen bzw. können dass 2 eine doppelte NS ist?
> > somit erhalte ich folgende Gleichungssysteme:
> > [mm]x^4-4x^3+8x^2-16x+16=a11*(x-2)+a12[/mm]
> > [mm]x^4-4x^3+8x^2-16x+16=a11*x-2a11+a12[/mm]
>
> Das ist jetzt zwar falsch, aber das Vorgehen wäre
> normalerweise, nach Aufstellung des Ansatzes die Gleichung
> mit dem gesamten Nenner von f(x) zu multiplizieren, sodass
> links nur noch der Zähler steht. Dann kann man verschiedene
> Verfahren verwenden, um die Unbekannten [mm]a_{11}[/mm] etc.
> herauszubekommen. Das was immer funktioniert, ist
> Koeffizientenvergleich, aber auch das Einsetzverfahren (x =
> 2 einsetzen) etc. dürfte hier fruchten und dir einen
> Variablenwert beschaffen
Denn Koeffizientenvergleich bekomme ich irgendwie meist nicht hin. keine ahnung, wo da mein denkfehler ist. deswegen versuche ich es mit der einsetzmehtode. allerdings kam bei mir oben halt für beides dann 0 heraus, was wohl falsch wäre. Aber das liegt bestimmt an der nicht weiteren durchgefürhten Polynomdivision.
WEnn ich dann die zweite Polynomdivision gemacht habe, stelle ich dann mit allen gleichungen das Gleichungssystem auf?
LG Leonie
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Hallo!
> Aber ich komme auch nicht auf dein Ergebnis. Ich habe beim
> Bruch vor der [mm]x^3[/mm] noch eine 8 übrig. Also
> f(x) = [mm]x^{2}-12+(-4)*\bruch{8x^{3}-16x^{2}+33x-32}{x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-16x+16}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, das ist auch richtig! Ich hatte es falsch abgeschrieben.
> Womit mache ich die zweite Polynomdivision?
Die Polynomdivision, die ich jetzt meine, ist eigentlich nur dazu da, um den Nenner zu faktorisieren! Der Nenner von f(x) ist
[mm] x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-16x+16
[/mm]
Wir wissen zwei Nullstellen, nämlich die doppelte x = 2, d.h. der obige Term beinhaltet den Term
[mm] (x-2)^{2} [/mm] = [mm] (x^{2}-4x+4), [/mm] nun Polynomdivision, um den Rest-Term herauszubekommen:
[mm] (x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-16x+16) [/mm] : [mm] (x^{2}-4x+4) [/mm] = [mm] x^{2}+4.
[/mm]
D.h. der Nenner von f(x) lässt sich faktorisieren zu
[mm]x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-16x+16 = (x-2)^{2}*(x^{2}+4)[/mm].
Nun erst ist eine Partialbruchzerlegung möglich.
> Wenn wir schon dabei sind, woher
> hätte ich wissen müssen bzw. können dass 2 eine doppelte NS
> ist?
Ich denke, hier kann man nur raten! Wenn alle Koeffizienten ganzzahlig sind, ist es auch möglich (sogar wahrscheinlich), dass eine Nullstelle Teiler des Absolutgliedes ist, d.h. des Teiles ohne x. Das ist hier ja 16 beim Nenner gewesen. Un da beginnt man dann immer mit [mm] \pm1 [/mm] und [mm] \pm2 [/mm] zu probieren (das sind ja Teiler von 16), und du siehst: dann hättest du Erfolg gehabt!
> Denn Koeffizientenvergleich bekomme ich irgendwie meist
> nicht hin. keine ahnung, wo da mein denkfehler ist.
> deswegen versuche ich es mit der einsetzmehtode. allerdings
> kam bei mir oben halt für beides dann 0 heraus, was wohl
> falsch wäre. Aber das liegt bestimmt an der nicht weiteren
> durchgefürhten Polynomdivision.
> WEnn ich dann die zweite Polynomdivision gemacht habe,
> stelle ich dann mit allen gleichungen das Gleichungssystem
> auf?
Also: Was ist unserer Erkenntnisstand bis jetzt: Wir wollen f(x) integrieren. Dies war eine gebrochenrationale Funktion. Da wir gesehen haben, dass der Zählergrad größer als der Nennergrad ist, haben wir zunächst Polynomdivision durchgeführt und haben erhalten:
[mm]f(x) = x^{2}-12+(-4)*\bruch{8x^{3}-16x^{2}+33x-32}{x^{4}-4x^{3}+8x^{2}}[/mm]
Der erste Teil von f(x) geht dann leicht zu integrieren, wir müssen uns jetzt nur noch um den Bruch kümmern. Dazu haben wir ihn zunächst unter Kenntnis einer (bzw. hier zwei) Nullstellen faktorisiert:
[mm] \bruch{8x^{3}-16x^{2}+33x-32}{(x^{2}+4)*(x-2)^{2}}.
[/mm]
Der Ansatz ist nun:
[mm] \bruch{8x^{3}-16x^{2}+33x-32}{(x^{2}+4)*(x-2)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(x-2)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x-2)^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{Cx+D}{x^{2}+4}.
[/mm]
Nun multiplizieren wir auf beiden Seiten der Gleichung den gesamten Nenner des Bruches auf der linken Seite:
[mm] 8x^{3}-16x^{2}+33x-32 [/mm] = [mm] A*(x-2)*(x^{2}+4) [/mm] + [mm] B*(x^{2}+4) [/mm] + [mm] (Cx+D)*(x-2)^{2}.
[/mm]
Nun können wir beginnen, die Methoden anzuwenden, um A,B,C und D herauszubekommen.
Man kann gut sehen: Wenn wir x = 2 einsetzen, bleibt rechts nur noch 8B übrig, und links eine Zahl. Damit bekommst du B raus! Allgemein würde man den Koeffizientenvergleich jetzt aber so angehen, die rechte Seite neu zu ordnen:
[mm] A*(x-2)*(x^{2}+4) [/mm] + [mm] B*(x^{2}+4) [/mm] + [mm] (Cx+D)*(x-2)^{2}
[/mm]
= [mm] A*(x^{3}-2x^{2}+4x-8) [/mm] + [mm] B*(x^{2}+4) [/mm] + [mm] C*(x^{3}-4x^{2}+4x) [/mm] + [mm] D*(x^{2}-4x+4)
[/mm]
= [mm] x^{3}*(A+C) [/mm] + [mm] x^{2}*(-2A+B-4C+D) [/mm] + x*(4A+4C-4D) + 1*(-8A+4B+4D).
Wenn du nun gleichzeitig die linke Seite der Gleichung betrachtest, also insgesamt
[mm] 8x^{3}-16x^{2}+33x-32 [/mm] = [mm] x^{3}*(A+C) [/mm] + [mm] x^{2}*(-2A+B-4C+D) [/mm] + x*(4A+4C-4D) + 1*(-8A+4B+4D),
kannst du sehen, was für Koeffizienten links vor den Polynomteilen [mm] x^{3}, x^{2}, [/mm] ... steht und was rechts. Damit die Gleichung gilt, müssen die Koeffizienten natürlich gleich sein und somit ergeben sich deine Gleichungen, die du lösen musst. Sicher vereinfacht es sich ein wenig, wenn du die Lösung von B von oben mit dem Einsetzverfahren mit dazunimmst.
Eine Gleichung ist (Vergleich der Koeffizienten vor [mm] x^{3}):
[/mm]
8 = A+C.
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mo 07.07.2008 | | Autor: | mimmie |
> Eine Gleichung ist (Vergleich der Koeffizienten vor
> [mm]x^{3}):[/mm]
>
> 8 = A+C.
Das habe ich auch rausbekommen. Löse ich nun alles auf hab ich folgende Ergebnisse: A=7,5 ; B=-24; C=1/2; D=1/4
Stimmt das soweit?
Das hieße meine PZB sieht nun wie folgt aus:
f(x)= 7,5/(x-2) - [mm] 24/(x-2)^2 [/mm] + [mm] ((1/2x)+(1/4))/(x^2+4)
[/mm]
Heißt das nun, dass ich einfach diese A,B,CxD- Teile und [mm] x^2-12 [/mm] (aus den vorderen Teil der Gleichung) nun nach den ganz normalen Regeln aufleite? Vorrausgesetzt es hat sich kein Fehler eingesclichen?
LG Leonie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Mo 07.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ob deine Zerlegung richtig ist hab ich keine Lust nachzuprüfen, kannst du aber leicht, indem du wieder auf den Hauptnenner bringst. Und ja, dann einfach das Ergebnis, was ja gleich der ursprünglichen fkt ist integrieren.
(Vergiss den Anfangsteil deiner ersten Division nicht!)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 Mo 07.07.2008 | | Autor: | mimmie |
Ich komme nicht auf die Lsg. die vorgegeben ist. Werde mir also wohl noch mal die PZB anschauen. Aber vielen Dank für all eure vor allen schnellen Hilfe. Denn ich habe nun zumindest verstanden wie es geht. Falls jemand doch einen Fehler sehen sollte kann er/sie ja bescheid sagen.
LG Leonie
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Hallo!
Du hast dich leider verrechnet. Ich komme auf (nachgeprüfte und korrekte) Werte
a = 6,
[mm] b=\bruch{17}{4},
[/mm]
c=2,
[mm] d=-\bruch{1}{4}.
[/mm]
Stefan.
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