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| Aufgabe | Sei P ein reelles Polynom vom Grad n. Bestimmen Sie folgende Stammfunktionen:
a) [mm] \integral{P(x)e^x dx}
[/mm]
b) [mm] \integral{P(x)sin x dx}
[/mm]
c) [mm] \integral{log x * \summe_{k=0}^{n}a_kx^k dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
zu a) und c) habe ich Lösungen und ich möchte gerne wissen, ob die so richtig sind. Schwierigkeiten habe ich bei b). Vorab aber noch eine andere Frage: Das Symbol [mm] \integral{f(x) dx} [/mm] steht ja für eine Stammfunktion von f(x). Muss ich dann am Ende meiner Rechnung noch eine Konstante c hinzufügen, oder kann ich diese weglassen?
Beweis a)
Sei P ein reelles Polynom vom Grad n.
Stelle zuerst folgende Behauptung auf:
[mm] \integral{P(x)e^x dx}
[/mm]
= [mm] e^x*P(x) [/mm] - [mm] \integral{P'(x)e^x dx}
[/mm]
= [mm] e^x*P(x) [/mm] - [mm] (e^x*P'(x) [/mm] - [mm] \integral{P''(x)e^x dx})
[/mm]
= [mm] e^x*P(x) [/mm] - [mm] e^x*P'(x) [/mm] + [mm] \integral{P''(x)e^x dx}
[/mm]
= [mm] e^x [/mm] * (P(x) - P'(x)) + [mm] e^x*P''(x) [/mm] - [mm] \integral{P'''(x)e^x dx}
[/mm]
= ...
= [mm] e^x*(\summe_{k=0}^{n}(-1)^k*P^{(k)}(x))
[/mm]
Zeige Behauptung durch Induktion:
Induktionsanfang: n = 0, d.h. P ist ein konstantes Polynom.
[mm] e^x*\summe_{k=0}^{0}(-1)^k*P^{(k)}(x) [/mm] = [mm] e^x*P(x)
[/mm]
[mm] \integral{P(x)e^x dx} [/mm] = [mm] P(x)*\integral{e^x dx} [/mm] = [mm] P(x)*e^x
[/mm]
Also gilt Gleichheit und der Induktionsanfang stimmt.
Induktionsvoraussetzung: [mm] e^x*(\summe_{k=0}^{n}(-1)^k*P^{(k)}(x)) [/mm] = [mm] \integral{P(x)e^x dx} [/mm] für ein n [mm] \in \IN.
[/mm]
Induktionsschluss: n [mm] \to [/mm] n+1
Sei nun P ein Polynom (n+1)-ten Grades, also ist P' ein Polynom n-ten Grades.
[mm] \Rightarrow \integral{P(x)e^x dx}
[/mm]
= [mm] e^x*P(x) [/mm] - [mm] \integral{P'(x)e^x dx}
[/mm]
= [mm] e^x*P(x) [/mm] - [mm] e^x*(\summe_{k=0}^{n}(-1)^k*(P')^{(k)}(x)) [/mm] [hier wird die Induktionsvoraussetzung angewendet]
= [mm] e^x*(P(x) [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}*(P')^{(k)}(x)
[/mm]
= [mm] e^x*(P(x) [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k+1}*(P')^{(k)}(x))
[/mm]
= [mm] e^x [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{n+1}(-1)^k*P^{(k)}(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung.
[mm] \Box
[/mm]
Beweis b)
Stelle zuerst folgende Behauptung auf:
[mm] \integral{P(x)sin x dx}
[/mm]
= -cos x * P(x) - [mm] \integral{-cos x * P'(x) dx}
[/mm]
= -cos x * P(x) + [mm] \integral{cos x * P'(x) dx}
[/mm]
= -cos x * P(x) + sin x * P'(x) - [mm] \integral{sin x * P''(x) dx}
[/mm]
= -cos x * P(x) + sin x * P'(x) - (-cos x * P''(x) - [mm] \integral{-cos x * P'''(x) dx})
[/mm]
= -cos x * P(x) + sin x * P'(x) + cos x * P''(x) - [mm] \integral{cos x * P'''(x) dx}
[/mm]
= -cos x * P(x) + sin x * P'(x) + cos x * P''(x) - (sin x * P'''(x) - [mm] \integral{sin x * P^{(4)}(x) dx})
[/mm]
= -cos x * P(x) + sin x * P'(x) + cos x * P''(x) - sin x * P'''(x) + [mm] \integral{sin x * P^{(4)}(x) dx}
[/mm]
= -cos x * P(x) - cos'x * P'(x) - cos''x * P''(x) - cos'''x * P'''(x) + [mm] \integral{sin x * P^{(4)}(x) dx}
[/mm]
= ...
= [mm] -\summe_{k=0}^{n}cos^{(k)}x [/mm] * [mm] P^{(k)}(x)
[/mm]
Ich möchte die Behauptung durch Induktion nach n beweisen.
IA: n = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] P konstantes Polynom.
[mm] -\summe_{k=0}^{0}cos^{(k)}x [/mm] * [mm] P^{(k)}(x) [/mm] = -cos x * P(x)
[mm] \integral{P(x)sin x dx} [/mm] = -cos x * P(x) - [mm] \integral{-cos x * P'(x) dx} [/mm] = -cos x * P(x) , da das Integral 0 ist.
[mm] \Rightarrow [/mm] IA stimmt.
IV: [mm] \integral{P(x)sin x dx} [/mm] = [mm] -\summe_{k=0}^{n}cos^{(k)}x [/mm] * [mm] P^{(k)}(x) [/mm] für ein n [mm] \in \IN.
[/mm]
IS: n [mm] \to [/mm] n+1, also ist P nun Polynom (n+1)-ten Grades, und P' ein Polynom n-ten Grades.
[mm] \Rightarrow \integral{P(x)sin x dx}
[/mm]
= -cos x * P(x) - [mm] \integral{-cos x * P'(x) dx}
[/mm]
= -cos x * P(x) + [mm] \integral{cos x * P'(x) dx}
[/mm]
Hier habe ich jetzt das Problem, dass ich die Induktionsvoraussetzung nicht anwenden kann.
Mir ist dann in den Sinn zu kommen erst n [mm] \to [/mm] n+2 zu beweisen, aber ich weiß nicht, ob mich das weiterbringt.
Kann mir bitte jemand helfen?
Beweis c)
Es gilt: (xlog x - x)' = log x
Verwendet wird die partielle Integration.
[mm] \integral{log x * \summe_{k=0}^{n}a_kx^k dx}
[/mm]
= log x * [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k+1}a_kx^{k+1} [/mm] - [mm] \integral{\bruch{1}{x} * \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k+1}a_kx^{k+1} dx}
[/mm]
= log x * [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k+1}a_kx^{k+1} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{(k+1)^2}a_kx^{k+1}
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Grüsse
Alexander
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Do 23.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur mal ganz kurz:
> Beweis b)
>
> Stelle zuerst folgende Behauptung auf:
>
> [mm]\integral{P(x)sin x dx}[/mm]
>
> = -cos x * P(x) - [mm]\integral{-cos x * P'(x) dx}[/mm]
>
> = -cos x * P(x) + [mm]\integral{cos x * P'(x) dx}[/mm]
>
> = -cos x * P(x) + sin x * P'(x) - [mm]\integral{sin x * P''(x) dx}[/mm]
>
> = -cos x * P(x) + sin x * P'(x) - (-cos x * P''(x) -
> [mm]\integral{-cos x * P'''(x) dx})[/mm]
>
> = -cos x * P(x) + sin x * P'(x) + cos x * P''(x) -
> [mm]\integral{cos x * P'''(x) dx}[/mm]
>
> = -cos x * P(x) + sin x * P'(x) + cos x * P''(x) - (sin x *
> P'''(x) - [mm]\integral{sin x * P^{(4)}(x) dx})[/mm]
>
> = -cos x * P(x) + sin x * P'(x) + cos x * P''(x) - sin x *
> P'''(x) + [mm]\integral{sin x * P^{(4)}(x) dx}[/mm]
>
> = -cos x * P(x) - cos'x * P'(x) - cos''x * P''(x) - cos'''x
> * P'''(x) + [mm]\integral{sin x * P^{(4)}(x) dx}[/mm]
>
> = ...
>
> = [mm]-\summe_{k=0}^{n}cos^{(k)}x[/mm] * [mm]P^{(k)}(x)[/mm]
>
> Ich möchte die Behauptung durch Induktion nach n
> beweisen.
>
> IA: n = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] P konstantes Polynom.
>
> [mm]-\summe_{k=0}^{0}cos^{(k)}x[/mm] * [mm]P^{(k)}(x)[/mm] = -cos x * P(x)
>
> [mm]\integral{P(x)sin x dx}[/mm] = -cos x * P(x) - [mm]\integral{-cos x * P'(x) dx}[/mm]
> = -cos x * P(x) , da das Integral 0 ist.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] IA stimmt.
>
> IV: [mm]\integral{P(x)sin x dx}[/mm] = [mm]-\summe_{k=0}^{n}cos^{(k)}x[/mm] *
> [mm]P^{(k)}(x)[/mm] für ein n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> IS: n [mm]\to[/mm] n+1, also ist P nun Polynom (n+1)-ten Grades, und
> P' ein Polynom n-ten Grades.
>
> [mm]\Rightarrow \integral{P(x)sin x dx}[/mm]
>
> = -cos x * P(x) - [mm]\integral{-cos x * P'(x) dx}[/mm]
>
> = -cos x * P(x) + [mm]\integral{cos x * P'(x) dx}[/mm]
>
> Hier habe ich jetzt das Problem, dass ich die
> Induktionsvoraussetzung nicht anwenden kann.
> Mir ist dann in den Sinn zu kommen erst n [mm]\to[/mm] n+2 zu
> beweisen, aber ich weiß nicht, ob mich das weiterbringt.
> Kann mir bitte jemand helfen?
Wenn Du den Induktionsbeweis in der Form machst:
------------------------------------------------------------------
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Sei [mm] $A(n)\,$ [/mm] eine Aussage in Abhängigkeit von [mm] $n\,.$
[/mm]
Behauptung: $A(n)$ stimmt für alle ganzen $n [mm] \ge n_0\,.$
[/mm]
I.A. [mm] $A(n_0)$ [/mm] ist wahr.
I.S. Wir nehmen an, dass mit einem $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt: [mm] $A(k)\,$ [/mm] (ist wahr) für alle ganzen [mm] $k\,$
[/mm]
mit [mm] $n_0 \le [/mm] k [mm] \le n\,.$
[/mm]
$n [mm] \to [/mm] n+1$: ...
------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------
Dann kannst Du
[mm] $$\integral{cos x * P'(x) dx}$$
[/mm]
nochmal partiell integrieren, und dann solltest Du die I.V. anwenden können!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
ich habe das jetzt so gemacht, wie du gesagt hast, und damit funktioniert das sehr gut.
Aber ich frage mich jetzt, warum man das so voraussetzen darf?
Alexander
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Do 23.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> ich habe das jetzt so gemacht, wie du gesagt hast, und
> damit funktioniert das sehr gut.
> Aber ich frage mich jetzt, warum man das so voraussetzen
> darf?
diese Beweismethode - eine spezielle Variante der vollständigen Induktion - ist
äquivalent zu der "gängigen" Variante (die, die Du vorher gemacht hast).
Das kann man sich eigentlich relativ schnell selbst überlegen (sogar mit
"induktiven Mengen"). Wenn's nicht klappt (also der eigenständige Beweis
des oben gesagten):
Ich muss mal schauen, ob ich das wiederfinde: Vor Jahren hatte ich das
mal schön formal in einem Skript, entweder war's 'n Logik oder ein
Informatik-Skript, gesehen. Ich kann versuchen, das wiederzufinden, oder
eine Alternative zu finden. Vielleicht schmeißt Du aber mal Googel an und
gibst "Varianten der vollständigen Induktion" ein oder sowas.
Gruß,
Marcel
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Ich habe mir die Variante bei Google angeguckt, und habe sie hoffentlich verstanden. Besten Dank!
Kannst du dir, wenn du Zeit hast, auch bitte die anderen Lösungen angucken?
Alexander
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Do 23.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Alex,
> Ich habe mir die Variante bei Google angeguckt, und habe
> sie hoffentlich verstanden. Besten Dank!
>
> Kannst du dir, wenn du Zeit hast, auch bitte die anderen
> Lösungen angucken?
wenn ich die Zeit finden sollte. Ich kann Dir aber nicht versprechen, dass das
heute noch wird. Aber das ist halt das Gute an so 'nem Forum:
Ich bin nicht der einzige, der drübergucken kann. 
Wenn's bis morgen keiner gemacht hat, dann schreib' mir einfach kurz
'ne PN, dann schau' ich mal drüber. Aber so beim "groben Drübergucken"
ist mir jetzt nicht direkt totaler Unfug aufgefallen. (Was nicht heißt, dass
ich einen solchen nicht übersehen haben könnte.) Und das eine Problem
haben wir ja nun beseitigt, wie mir scheint.
Eins noch: Du schreibst da ständig "Stelle folgende Behauptung auf".
Ist das nach einer Vorgabe, oder machst Du diese Vorüberlegungen für
Dich? Die kann man in so 'nem Beweis natürlich einfließen lassen, aber
generell reicht's ja: Behauptung -> Beweis; sofern der Beweis der
aufgestellten Behauptung denn funktioniert...
Gruß,
Marcel
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Alles klar, nur kein Stress. :)
Es ging mir erstmal darum, eine Formel zu finden bzw. eine Idee zu bekommen, wie das unbestimmte Integral aussehen könnte. Daher habe ich geschrieben ,,Stelle folgende Behauptung auf", und diese Behauptung habe ich dann hinterher durch Induktion bewiesen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Do 23.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Alles klar, nur kein Stress. :)
>
> Es ging mir erstmal darum, eine Formel zu finden bzw. eine
> Idee zu bekommen, wie das unbestimmte Integral aussehen
> könnte.
ich sag' ja nicht, dass das unsinnig ist. Im Gegenteil: Etwa ein Tutor sollte
in dieser Art und Weise "die Lösung" präsentieren, anstatt einfach eine
Behauptung, die vom Himmel fällt/zu fallen scheint, vorzurechnen. Es war
nur die Frage - denn das kann ja auch sein: Musst Du dies bei der Lsg. der
Aufgabe zwingend so tun? Falls nicht, kannst Du Dir Schreibarbeit sparen,
und einfach nur Behauptung+Induktionsbeweis der Formeln aufschreiben.
(Wenn Du "nett" bist, hängst Du dem Korrektor Deine Vorüberlegungen
zusätzlich an; sie sollten dann aber eigentlich nicht "negativ" bewertet
werden, wenn da mal irgendwo ein Fehler drin ist...)
> Daher habe ich geschrieben ,,Stelle folgende
> Behauptung auf", und diese Behauptung habe ich dann
> hinterher durch Induktion bewiesen.
Wie gesagt: Generell sehr gut, aber bei Induktionsbeweisen eigentlich
(meistens) nicht wirklich notwendig.
Gruß,
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:25 Sa 25.05.2013 | | Autor: | TheAssinu |
Hallo,
ich habe auch mal eine Frage dazu:
Ich muss die ganze Sache auch durcharbeiten und komme nicht ganz klar.
Ich habe deine Lösungen auch durchgesehen.
Ich muss sagen, dass ich darauf zwar nicht gekommen wäre, es mir aber logisch erscheint.
Nun zu meiner Frage:
Ich komme mit b) nicht ganz klar, kannst du deine vollständige Lösung mit der Induktionsvarriante reinstellen?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich habe auch mal eine Frage dazu:
> Ich muss die ganze Sache auch durcharbeiten und komme nicht
> ganz klar.
>
> Ich habe deine Lösungen auch durchgesehen.
> Ich muss sagen, dass ich darauf zwar nicht gekommen wäre,
> es mir aber logisch erscheint.
> Nun zu meiner Frage:
> Ich komme mit b) nicht ganz klar, kannst du deine
> vollständige Lösung mit der Induktionsvarriante
> reinstellen?
das macht keinen Sinn (für Dich!): Zum einen steht da schon so gut wie
alles, zum anderen habe ich gesagt, was da noch zu tun ist. Führe das
aus und sag', wo's hapert!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 So 26.05.2013 | | Autor: | TheAssinu |
Ah, danke habe es geshcafft
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 So 26.05.2013 | | Autor: | Marcel |
> Ah, danke habe es geshcafft
Na siehste: Und wenn Du doch irgendwo Zweifel hast: Einfach nachfragen!
Gruß,
Marcel
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