Integration von Potenzreihe < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Do 17.04.2008 | | Autor: | mai |
Hallo Ihr Lieben,
ich hab Probleme mit der Aufgabenstellung
und bitte Euch mir zu helfen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Do 17.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Ihr Lieben,
>
> ich hab Probleme mit der Aufgabenstellung
> und bitte Euch mir zu helfen:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Du sollst für [mm] $\sin(x)$ [/mm] einfach
(I) [mm] $\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
[/mm]
benutzen.
(Das ist eine Potenzreihe mit Konvergenzradius [mm] $\infty$. [/mm] Warum?)
Dann sollst Du Dir damit überlegen, wie [mm] $\frac{\sin(x)}{x}$ [/mm] aussieht. Das ist dann ebenfalls eine Potenzreihe mit Konvergenzradius [mm] $\infty$ [/mm] (Warum?).
(P.S.:
Alternativ kann es auch sein, dass ihr Potenzreihen mittels der Taylorentwicklung definiert habt und Du nun die Taylorentwicklung von $x [mm] \mapsto \frac{\sin(x)}{x}$ [/mm] (für $x [mm] \not=0$) [/mm] erstmal machen sollst. Da sollte aber das gleiche Ergebnis am Ende stehen.)
Der nächste Tipp ist:
Wenn Du nun [mm] $\frac{\sin(x)}{x}$ [/mm] erst mal als Reihe der Art [mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n x^n$ [/mm] schreiben kannst (anstatt [mm] $x^n$ [/mm] steht hier hier zwar zunächst etwas der Art
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}$, [/mm] aber dann setzt Du einfach
[mm] $b_n:=\begin{cases} 0, & \mbox{für ungerades }n \in \IN \\ a_k, & \mbox{mit } k:=\frac{n}{2} \mbox{ für gerades }n \in \IN_0 \end{cases}$
[/mm]
und so wird aus [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}=\sum_{n=0}^\infty b_n x^n$), [/mm] so darfst Du dann verwenden, dass, weil die (letztstehende) Potenzreihe (auch) den Konvergenzradius [mm] $\infty$ [/mm] hat (Warum?), hier
(III) [mm] $\int \sum_{n=0}^\infty b_n x^n dx=\sum_{n=0}^\infty b_n \int x^n [/mm] dx$
gilt. Und [mm] $\int x^n [/mm] dx$ ist für $n=0$ trivial, und für $n [mm] \in \IN$ [/mm] kennst Du sicher eine Stammfunktion von $x [mm] \mapsto x^n$...
[/mm]
(Die Formel für [mm] $\int x^n [/mm] dx$ passt sogar auch für $n=0$, ich hatte das oben eigentlich unnötig in die Fälle $n=0$ bzw. $n [mm] \in \IN$ [/mm] aufgespalten.)
Also Anleitung:
Benutze (I), um eine Reihenentwicklung von [mm] $\frac{\sin(x)}{x}$ [/mm] zu bekommen (strenggenommen müßtest Du Dir Gedanken dazu machen, wie es bei $x [mm] \mapsto f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$ [/mm] mit [mm] $x_0=0$ [/mm] aussieht. Zum Glück ist das eine hebbare Singularität, bzw. für Dich vll. verständlicher: Wir können die Funktionen stetig und sogar unendlich oft diff'bar mittels $f(0):=1$ fortsetzen.)
Dann umschreiben zu Reihe der Art [mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n x^n$, [/mm] also so, dass
[mm] $\frac{\sin(x)}{x}=\sum_{n=0}^\infty b_n x^n$ [/mm] und weiter mit (III).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Do 17.04.2008 | | Autor: | mai |
Hallo, vielen lieben Dank für die
Antwort! Ich habe da aber eine Frage,
undwar, wieso muss ich denn aus
[mm] \sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n} [/mm] -> [mm] \sum_{n=0}^\infty b_n x^n [/mm]
machen, obwohl [mm] x^{2*n} [/mm] doch genau so einfach
integrierbar ist??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Do 17.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, vielen lieben Dank für die
> Antwort! Ich habe da aber eine Frage,
> undwar, wieso muss ich denn aus
> [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}[/mm] -> [mm]\sum_{n=0}^\infty b_n x^n[/mm]
> machen, obwohl [mm]x^{2*n}[/mm] doch genau so einfach
> integrierbar ist??
"müssen" mußt Du das nicht. Aber ich empfehle es. Aus einem einfachen Grund:
[mm] $(\*)$ $\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}$ [/mm] ist in dieser Darstellung "nicht offensichtlich" eine Potenzreihe. Es ist zwar eine, aber das erkennt man "wirklich offensichtlich" mit den obigen "Hilfskoeffizienten".
Zudem würde man, wenn man den Konvergenzradius berechnet, dann bei der Potenzreihe in [mm] $(\*)$ [/mm]
[mm] $\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[\blue{2n}]{|a_n|}}$
[/mm]
zu berechnen haben. Wenn der Konvergenzradius wie hier [mm] $=\infty$ [/mm] ist, oder wenn er $=0$ wäre oder wenn er $=1$ wäre, ist das nicht wichtig. Wenn er aber in $(0,1) [mm] \cup (1,\infty)$ [/mm] liegen würde und Du würdest für den Konvergenzradius von [mm] $(\*)$ [/mm] "nur"
[mm] $\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[\red{n}]{|a_n|}}$
[/mm]
rechnen, so wäre er falsch. Das erkennst Du auch sofort, wenn Du für eine Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}$ [/mm] mit [mm] $z=x^2$ [/mm] schreibst:
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$
[/mm]
Dann kannst Du mit der altbekannten Formel den Konvergenzradius für die Potenzreihe bzgl. [mm] $\blue{z}$ [/mm] berechnen. Und erst nach der Resubstitution [mm] $z=x^2$ [/mm] erkennst Du den KR bzgl. $x$ (da zieht man dann die Wurzel).
Es ist mehr ein didaktischer Hintergrund, dass das obige auch wirklich in der Form einer Potenzreihe ersichtlich ist (mithilfe des Summenzeichens). Aber wenn ich mich nicht täusche, müßte es hier auch ohne dieses Umschreiben klappen. Gegebenenfalls rechne es einmal ohne Umschreiben und einmal mit Umschreiben, es kommt (hoffentlich) beides mal das gleiche raus 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Fr 18.04.2008 | | Autor: | mai |
Was ich auch tue, ich komme nie zu dem
Ergebnis, das im Bronstein steht^^... :-(
bzw. ich komm nicht darauf, wieso meine
Summe das hier widerspiegelt:
[mm] x-\bruch{x^3}{3*3!}+\bruch{x^5}{5*5!}-\bruch{x^7}{7*7!}...
[/mm]
AH, OHNE UMSCHREIBEN KOMM ICH AUF DAS ERGEBNIS!!! danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Was ich auch tue, ich komme nie zu dem
> Ergebnis, das im Bronstein steht^^... :-(
> bzw. ich komm nicht darauf, wieso meine
> Summe das hier wiederspiegelt:
>
> [mm]x-\bruch{x^3}{3*3!}+\bruch{x^5}{5*5!}-\bruch{x^7}{7*7!}...[/mm]
>
> AH, OHNE UMSCHREIBEN KOMM ICH AUF DAS ERGEBNIS!!! danke
auch mit umschreiben solltest Du zu dem Ergebnis kommen, da Du dann ja teilweise über $0$ integrierst bzw., bei meiner Rechnung, weil ja gewisse Koeffizienten mit ungeraden Indizes erst reingeschmuggelt werden, damit gerechnet wird, die aber am Ende wieder rausfallen, weil die Koeffizienten mit ungeraden Indizes ja den Wert $=0$ hatten:
Rechnung:
[mm] $\frac{\sin(x)}{x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!}$
[/mm]
Für $n,m [mm] \in \IN_0$:
[/mm]
Sei
[mm] $a_n:=\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}$ [/mm] und sei
[mm] $b_m:=\begin{cases} 0, & \mbox{für ungerades }m \in \IN \\ a_n, & \mbox{mit } k:=\frac{n}{2} \mbox{ für gerades }m \in \IN_0 \end{cases}$ [/mm]
(D.h. ich setze [mm] $b_0=a_0$, $b_1=0$, $b_2=a_1$, $b_3=0$, $b_4=a_2$,... [/mm] in einem gewissen Sinne könnte man sagen:
Es ist eine Substitution $m=2n$, aber damit wir an der Reihe "nichts Wesentliches verändern" und damit [mm] $b_m$ [/mm] auch für ungerade $m [mm] \in \IN$ [/mm] definiert sind, schmuggeln wir $0$en rein. Denn wenn wir nur sagen:
Wir substituieren $m=2n$ und setzen für diese $m$ dann [mm] $b_m=a_{\frac{m}{2}}=a_n$, [/mm] dann haben wir [mm] $b_m$ [/mm] für ungerades $m$ gar nicht definiert; Du erkennst es dann schon an [mm] $b_1$, [/mm] weil es gar kein [mm] $a_{\frac{1}{2}}$ [/mm] gibt.)
Dann gilt (da die Potenzreihe Konvergenzradius [mm] $\infty$ [/mm] hat):
[mm] $\int \left(\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}\right) dx=\int \left(\sum_{m=0}^\infty b_m x^m\right) dx=\sum_{m=0}^\infty b_m \left(\int x^m dx\right)=\sum_{m=0}^\infty b_m*\frac{x^{m+1}}{m+1}$
[/mm]
Wegen [mm] $b_m=0$ [/mm] für alle ungeraden $m [mm] \in \IN$ [/mm] folgt mit $m=2n$:
[mm] $\int \left(\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}\right) dx=\sum_{m=0}^\infty b_m*\frac{x^{m+1}}{m+1}=\sum_{n=0}^\infty b_{2n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}=(\star)$
[/mm]
Es war [mm] $b_{2n}=a_n=\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}$, [/mm] also:
[mm] $(\star)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)*(2n+1)!}x^{2n+1}$
[/mm]
Ausgeschrieben wäre das:
[mm] $=x^1-\frac{x^3}{3*3!}+\frac{x^5}{5*5!}-\frac{x^7}{7*7!}\pm...$
[/mm]
Vergleich mit der anderen Methode (Rechnung verkürzt):
[mm] $\int \frac{\sin(x)}{x}dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}*\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}$
[/mm]
Das ist offensichtlich das gleiche. Strenggenommen:
Ich habe bei meiner Methode oben die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}$ [/mm] manipuliert zu einer anderen Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n x^n$. [/mm] Das erkennt man, wenn man die Folge der Teilsummen betrachtet, diese ändert sich. ABER:
Ich habe die Folge der Teilsummen nur so verändert, dass sich bei der Grenzwertbetrachtung der Grenzwert nicht ändern kann (das erkennt man auch, wenn man die Folge der Teilsummen betrachtet), d.h. die manipulierte Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n x^n$ [/mm] und die Ausgangsreihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}$ [/mm] haben (für jedes $x$) den gleichen Grenzwert, und bei der Rechung steht [mm] $\sum_{n=0}^\infty z_n$ [/mm] immer für den Grenzwert [mm] $\lim_{N \to \infty} \sum_{k=0}^N z_k$ [/mm] der Teilsummenfolge, daher mache ich da auch keine formalen Fehler.
Die "Manipulation" war hier nur deshalb wichtig:
Eine Potenzreihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n x^n$ [/mm] an der Stelle $x$ ist eigentlich erstmal die zugehörige Folge der Teilsummen, also
[mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n x^n=\left(\sum_{n=0}^N b_n x^n\right)_{N \in \IN_0} \equiv: \left(s^{(b)}_N(x)\right)_{N \in \IN_0}$, [/mm] also die Glieder der Teilsummenfolge mal hingeschrieben:
[mm] $s^{(b)}_0(x)=b_0$, $s^{(b)}_1(x)=b_0+b_1 x^1$, $s^{(b)}_2(x)=b_0+b_1 x^1+b_2 x^2$, [/mm] ....
Also:
Bei dem $n$-ten Glied der Folge ist die größte bei $x$ auftauchende Potenz gerade versehen mit dem Wert $n$. Das $n$-te Folgenglied der Potenzreihe ist also ein Polynom vom Grad $ [mm] \le [/mm] n$.
Und wenn Du die zu [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}$ [/mm] zugehörige Folge der Teilsummen [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}=\left(\sum_{n=0}^N a_n x^{2n}\right)_{N \in \IN_0} \equiv: \left(s^{(a)}_N(x)\right)_{N \in \IN_0}$ [/mm] mal hinschreibst:
[mm] $s^{(a)}_0(x)=a_0$, $s^{(a)}_2(x)=a_0+a_1 x^2$, $s^{(a)}_2(x)=a_0+a_1 x^2+a_2 x^4$, [/mm] ....
Und hier sieht man bei dem $n$-ten Glied der zugehörigen Teilsummenfolge: Die größte bei $x$ auftauchende Potenz hat den Wert $2n$, da steht also: Das $n$-te Glied der Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}$ [/mm] ist ein Polynom vom Grad [mm] $\le [/mm] 2n$. Wieso ist das hier dann eine Potenzreihe? Wo doch bei Potenzreihen bei dem $n$-ten Glied doch nur Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] n$ stehen können, wie wir uns vorher überlegt haben?
Erstmal ist [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}$ [/mm] eigentlich gar keine Potenzreihe im eigentlichen Sinn, aber man manipuliert die zugehörige Folgen der Teilsummen in einfacher Weise, dass es eine wird. So, wie ich das oben getan habe. Dann hat man wirklich offensichtlich eine Potenzreihe in der Hand, und der Satz greift.
Wichtig wird das ganze, wenn Du, wie gesagt, Potenzreihen mit Konvergenzradius $(0,1) [mm] \cup (1,\infty)$ [/mm] hast und dabei dann gliedweise integrierst, denn bei der Berechnung des Konvergenzradius fällt das ganze doch ins Gewicht, denn hier muss man ja den Konvergenzradius berechnen, und wenn man sich da nicht die Zusammenhänge klar macht und "leichtfertig" rechnet, würdest z.B. vergessen, da eine Wurzel zu ziehen und die Reihe auch auf einem Bereich "formal" integrieren, wo es gar nicht erlaubt wäre und Dich am Ende wundern, wieso das nicht passt.
Gruß,
Marcel
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