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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 So 23.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | a) Beh.: für k,l [mm] \in \IZ [/mm] gilt: [mm] \bruch{1}{2\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{e^{ikt}e^{-ilt}dt}=\delta_{kl}:=\begin{cases} 1, falls k=l \\ 0 sonst \end{cases}
[/mm]
b) Berechnen Sie für n,m [mm] \in \IN [/mm] das Integral [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)cos(mx)dx} [/mm] |
Moin!
Ich wollte mich erkundigen, ob mir jemand helfen kann - vor allem bei dem ersten Aufgabenteil, da ich mich ein wenig ungeschickt anstelle und keinen Ansatz hab.
Beim zweiten Teil habe ich eine Stammfunktion bereits ausgerechnet (vorausgesetzt [mm] \bruch{n}{m^2-n^2}cos(nx)cos(mx) [/mm] + [mm] \bruch{m}{m^2-n^2}sin(nx)sin(mx) [/mm] ist als solche richtig). Allerdings denke ich, dass mir das bei den GRenzen [mm] \pi [/mm] und [mm] -\pi [/mm] wenig nutzt, da m und n ja nicht weiter bestimmt sind. Heißt das wirklich, dass ich hier mindestens fünf Fallunterscheidungen machen muss? (m,n gerade;m,n ungerade;m gerade, n ungerade; m ungerade, n gerade; m-n=0...)
Hoffe mir kann da jemand aus den Grübeleien helfen,
san
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Hallo!
Zu a)
Der Fall $l=k$ ist trivial finde ich. Unter dem Integral bleibt nur noch $1$ stehen und das Ergebnis ist klar. Für [mm] $l\neq [/mm] k$ kann man auch zusammenfassen. Stehen bleibt als Integrand [mm] $e^{(k-l)\mathrm{i}t}$. [/mm] Das lässt sich nach bekannten Regeln integrieren. Dann noch schnell die Grenzen eingesetzt und fertig ist man.
Vielleicht ist es in dem Zusammenhang sinnvoll zu wissen, dass [mm] $e^{\mathrm{i}\pi}=-1$ [/mm] ist. Alles weitere dürfte nicht zu schwer sein, soweit ich das überblicke.
Zu b)
Da kann jetzt erstmal nur sagen, dass deine Integration wahrscheinlich nicht ganz richtig ist. Ein schnelles Überprüfen mit dem Taschenrechner ergab [mm] $\frac{-\mathrm{cos}(n*x- m*x)}{2*(n-m)}-\frac{\mathrm{cos}(n*x+ m*x)}{2*(n+m)}$
[/mm]
Mit den Grenzen erhält man $0$ unabhängig welche Werte $m$ und $n$ haben.
Mehr vermag ich erstmal nicht zu sagen.
Schönen Tag noch,
Roland.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
Vielen Dank für die Antwort, habe das auch noch mal durchgerechnet und dieses mal sogar etwas vernünftiges herausbekommen (mit lediglich 2 Fallunterscheidungen, das ist doch ein Fortschritt... )
Also: Ein großes Dankeschön auch an dich,
San
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