Integrationsaufgabe < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gesucht ist das Integral
[mm] \integral{(cosx)^2sinx dx} [/mm]
[mm] [/mm] |
Ich habe es schon mit partieller Integration versucht, womit ich nicht weiter komme:
[mm] \integral{f'g} = fg - \integral{fg'} [/mm]
mit f'=sinx ...führt "im Kreis herum" (Integrand ändert sich nicht wesentlich), die part. Int. andersherum dürfte noch schlimmer werden.
Per Substituton sehe ich auch keinen Weg. Was sollte ich substituieren?
Bleibt also, einen mir gerade nicht bekannten trigonometr. Zusammenhang auszunutzen. (?)
Hat jmd eine Idee, wie ich dem Integral auf die Schliche komme?
[mm] [/mm]
[mm] [/mm]
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Hallo,
> Gesucht ist das Integral
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> [mm]\integral{(cosx)^2sinx dx} [/mm]
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> [mm][/img]
> Ich habe es
> schon mit partieller Integration versucht, womit ich nicht
> weiter komme:
>
> [mm]\integral{f'g} = fg - \integral{fg'} [/mm]
>
> mit f'=sinx ...führt "im Kreis herum" (Integrand ändert
> sich nicht wesentlich), die part. Int. andersherum dürfte
> noch schlimmer werden.
Hier irrst du. Dieses 'im Kreis herum führen' ist der Schlüssel zur Lösung: bringe das entstehende Integral bei partieller Integration mit f'=sin(x) auf die linke Seite, dann bist du bereits so gut wie fertig.
Gruß, Diophant
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Danke für den Tipp.
Sieht das dann so aus?
mit [mm] g=(cosx)^2 [/mm] und f'=sinx
[mm] \integral{fg'}=fg - 2\integral{fg'} \gdw 3\integral{fg'}=fg \gdw \integral{fg'}=1/3*fg [/mm]
[mm] [/mm]
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Hallo,
> Danke für den Tipp.
>
> Sieht das dann so aus?
>
> mit [mm]g=(cosx)^2[/mm] und f'=sinx
>
>
> [mm]\integral{fg'}=fg - 2\integral{fg'} \gdw 3\integral{fg'}=fg \gdw \integral{fg'}=1/3*fg [/mm]
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
PS: du solltest deinen Zähler bei jeder Antwort meinerseits inkrementieren. 
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"PS: du solltest deinen Zähler bei jeder Antwort meinerseits inkrementieren. "
Ist die Basis wirklich das Fundament unserer Grundlagen?
Wie meinst du das?
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Ach, und ich spiele Klavier, welches als Instrument sicher mehr Energie freizusetzen vermag - Nachweis z B Inkrematorium ("im Krematorium"). hihi
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Fakt: Klavier brennt länger.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Do 07.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gesucht ist das Integral
>
> [mm]\integral{(cosx)^2sinx dx} [/mm]
leite mal
$x [mm] \mapsto (\cos(x))^3$
[/mm]
ab und denke nach, welche Modifikationen notwendig sind, um EINE(!)
Stammfunktion für Deine Funktion zu erhalten.
Straight forward Methode wäre übrigens:
Etwa
[mm] $u=u(x)=\cos(x)\,$
[/mm]
substituieren!
Gruß,
Marcel
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Danke für die Antwort.
wenn u(x)=cosx, steht da
[mm] \integral{(u(x))^2sinx dx} [/mm], oder?
Wie geht es hier dann weiter? Mit partieller Integration?
[mm] [/mm]
[mm] [/mm]
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Hallo geigenzaehler,
> Danke für die Antwort.
>
> wenn u(x)=cosx, steht da
>
> [mm]\integral{(u(x))^2sinx dx} [/mm], oder?
>
> Wie geht es hier dann weiter? Mit partieller
> Integration?
>
Nein, das Differential is auch zu substituieren:
[mm]u'\left(x\right)=\bruch{du}{dx}=-\sin\left(x\right) \Rightarrow du=-\sin\left(x\right) \ dx[/mm]
>
>
> [mm][/mm]
>
>
> [mm][/mm]
Gruss
MathePower
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Danke für die Antwort.
Führt das dann auf
[mm] -\integral{u^2 du} = -1/3*u^3 [/mm]?
und mit u=cosx: [mm] ...=-1/3*(cosx)^3 [/mm] für die/eine Stammfktn ?
[mm] [/mm]
[mm] [/mm]
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Hallo,
> Danke für die Antwort.
>
> Führt das dann auf
>
> [mm]-\integral{u^2 du} = -1/3*u^3 [/mm]?
Jo, + Integrationskonstante ...
>
> und mit u=cosx: [mm]...=-1/3*(cosx)^3[/mm] für die/eine
> Stammfktn ?
für eine! (mit Integrationskonstante [mm]C=0[/mm])
Mache doch selber die Probe und leite [mm]-\frac{1}{3}\cdot{}(\cos(x))^3[/mm] mal wieder ab ...
Es sollte wieder der Integrand rauskommen, also [mm]\cos^2(x)\cdot{}\sin(x)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Do 07.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Danke für die Antwort.
>
> wenn u(x)=cosx, steht da
>
> [mm]\integral{(u(x))^2sinx dx} [/mm], oder?
Mathepower hat's ja schon gesagt. Für Dich der Hinweis:
Ich habe [mm] $u=u(x)\,$ [/mm] geschrieben, weil man ja "nach der neuen Variablen [mm] $u\,$"
[/mm]
dann auch integrieren will. Also wirklich auch
[mm] $...=\int u^2*\sin(x)dx\,$
[/mm]
schreiben - dann siehst Du schon: "Doof, ich brauche doch ein [mm] $du\,$..."
[/mm]
Jetzt machst Du das, was Mathepower sagte:
[mm] $u=u(x)=\cos(x)$ [/mm] liefert [mm] $u'(x)=\frac{du(x)}{dx}=\frac{\red{du}}{dx}=-\sin(x)\,,$ [/mm] also [mm] $(-1)*\red{du}=\sin(x)dx$, [/mm]
es folgt
...
Nebenbei: Du kannst auch sagen
[mm] $\frac{du}{dx}=-\sin(x)$ [/mm] liefert [mm] $dx=-\frac{1}{\sin(x)}du\,,$
[/mm]
und das dann verwenden. Aber das wäre mehr "formal (und einfach mal
ohne *Bedenken*) gerechnet"...
Gruß,
Marcel
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Danke!
das mit dem x in u(x) hat mich nochmal etwas verwirrt, ja...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Do 07.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Gesucht ist das Integral
>
> [mm]\integral{(cosx)^2sinx dx} [/mm]
>
>
> [mm][/mm]
> Ich habe es
> schon mit partieller Integration versucht, womit ich nicht
> weiter komme:
>
> [mm]\integral{f'g} = fg - \integral{fg'} [/mm]
>
> mit f'=sinx ...führt "im Kreis herum" (Integrand ändert
> sich nicht wesentlich), n.
Das ist trotzdem sicher ein Weg, der auch zum Ziel führt. Wie Diophant bereits angedeutet hat, erhältst du eine Gleichung in dem gesuchten Integral, welche du leicht lösen kannst: Integral=...+2*Integral
>
> Per Substituton sehe ich auch keinen Weg. Was sollte ich
> substituieren?
Na, u=cos(x) führt direkt zum Ziel!
>
> Bleibt also, einen mir gerade nicht bekannten trigonometr.
> Zusammenhang auszunutzen. (?)
Möglich, dass es damit auch geht. Am einfachsten ist es aber, als Regel die Umkehrung der Kettenregel beim Differenzieren zu benutzen. Da sieht man das Ergebnis sofort mit freiem Auge.
Es ist ja
[mm] $\left({F(g(x)}\right)'=f(g(x)*g'(x)\text{ mit }F'(x)=f(x)$
[/mm]
und damit umgekehrt auch
[mm] $\int{f(g(x))*g'(x)\ dx}=F(g(x))+C$,
[/mm]
wobei $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist.
Etwas salopper anders ausgedrückt: Ist mein Integrand das Produkt aus einer Verkettung von zwei Funktionen und der Ableitung der inneren Funktion, so muss ich bloß die äußere Funktion integrieren und das wars auch schon.
Natürlich kommt man in diesem Fall immer weiter, indem man die innere Funktion substituiert (wie oben auch von mir vorgeschlagen), aber es lohnt sich, sich diese Regel zu merken und sich damit das lästige Anschreiben der Substitution und Rücksubstitution zu sparen.
Im Falle deines Integrals ist das Quadrat die äußere und cos(x) die innere Funktion. Die Ableitung steht noch nicht ganz genau daneben, daher wird ein klein wenig gebastelt - ist aber eine Kopfrechnung:
[mm] $\int{\left({cos(x)}\right)^2*sin(x)\ dx}=\red{-}\int{\left({cos(x)}\right)^2*(\red{-}sin(x))\ dx}=-\br{1}{3}*cos^3(x)+C$
[/mm]
Du hast also die Wahl zwischen unterschiedlichen Möglichkeiten, dem Integral Herr zu werden 
Gruß RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Do 07.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Gesucht ist das Integral
> >
> > [mm]\integral{(cosx)^2sinx dx} [/mm]
> >
> >
> >[mm][/mm]
> > Ich habe es
> > schon mit partieller Integration versucht, womit ich nicht
> > weiter komme:
> >
> > [mm]\integral{f'g} = fg - \integral{fg'} [/mm]
> >
> > mit f'=sinx ...führt "im Kreis herum" (Integrand ändert
> > sich nicht wesentlich), n.
>
> Das ist trotzdem sicher ein Weg, der auch zum Ziel führt.
> Wie Diophant bereits angedeutet hat, erhältst du eine
> Gleichung in dem gesuchten Integral, welche du leicht
> lösen kannst: Integral=...+2*Integral
>
>
> >
> > Per Substituton sehe ich auch keinen Weg. Was sollte ich
> > substituieren?
>
> Na, u=cos(x) führt direkt zum Ziel!
>
> >
> > Bleibt also, einen mir gerade nicht bekannten trigonometr.
> > Zusammenhang auszunutzen. (?)
> Möglich, dass es damit auch geht. Am einfachsten ist es
> aber, als Regel die Umkehrung der Kettenregel beim
> Differenzieren zu benutzen. Da sieht man das Ergebnis
> sofort mit freiem Auge.
>
> Es ist ja
>
> [mm]\left({F(g(x)}\right)'=f(g(x)*g'(x)\text{ mit }F'(x)=f(x)[/mm]
>
> und damit umgekehrt auch
>
> [mm]\int{f(g(x))*g'(x)\ dx}=F(g(x))+C[/mm],
>
> wobei [mm]F(x)[/mm] eine Stammfunktion von [mm]f(x)[/mm] ist.
>
> Etwas salopper anders ausgedrückt: Ist mein Integrand das
> Produkt aus einer Verkettung von zwei Funktionen und der
> Ableitung der inneren Funktion, so muss ich bloß die
> äußere Funktion integrieren und das wars auch schon.
nicht ganz: Eine Stammfunktion der äußeren Funktion muss auch nochmal
mit der inneren Funktion "verknüpft" werden - wir haben rechts ja (bis auf
die Konstante) nicht [mm] $F(x)\,,$ [/mm] sindern [mm] $(F\circ [/mm] g)(x)$ (oben im Zeichen $F(g(x))$)
stehen! Aber was Du meintest war vielleicht auch nur, dass hier die einzige
*Hauptarbeit* im Schritt $f [mm] \to [/mm] F$ (das meint: finde eine Stammfunktion [mm] $F\,$ [/mm] zu [mm] $f\,$)
[/mm]
drinsteckt!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Do 07.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
>
> > Etwas salopper anders ausgedrückt: Ist mein Integrand das
> > Produkt aus einer Verkettung von zwei Funktionen und der
> > Ableitung der inneren Funktion, so muss ich bloß die
> > äußere Funktion integrieren und das wars auch schon.
>
> nicht ganz: Eine Stammfunktion der äußeren Funktion muss
> auch nochmal
> mit der inneren Funktion "verknüpft" werden - wir haben
Natürlich, und genau das war der Grund, warum ich "salopper" geschrieben habe. Genauer steht's ohnedies darüber.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Do 07.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> >
> > > Etwas salopper anders ausgedrückt: Ist mein Integrand
> das
> > > Produkt aus einer Verkettung von zwei Funktionen und der
> > > Ableitung der inneren Funktion, so muss ich bloß die
> > > äußere Funktion integrieren und das wars auch schon.
> >
> > nicht ganz: Eine Stammfunktion der äußeren Funktion muss
> > auch nochmal
> > mit der inneren Funktion "verknüpft" werden - wir
> haben
> Natürlich, und genau das war der Grund, warum ich
> "salopper" geschrieben habe. Genauer steht's ohnedies
> darüber.
joa - ich kann mit dem Wort "salopp" nicht viel anfangen. Ich benutze es
eigentlich i.W. nur, wenn ich keine Lust habe, alle Voraussetzungen aufzuzählen.
Du benutzt es anders...
Nebenbei: Du solltest Dein Ergebnis nochmal kontrollieren:
[mm] $\frac{1}{3}(\cos(x))^3+C$
[/mm]
wird hier nicht rauskommen - siehe PN (minimaler Fehler).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Do 07.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hi,
>
> > >
> > > > Etwas salopper anders ausgedrückt: Ist mein
> Integrand
> > das
> > > > Produkt aus einer Verkettung von zwei Funktionen und der
> > > > Ableitung der inneren Funktion, so muss ich bloß die
> > > > äußere Funktion integrieren und das wars auch schon.
> > >
> > > nicht ganz: Eine Stammfunktion der äußeren Funktion muss
> > > auch nochmal
> > > mit der inneren Funktion "verknüpft" werden - wir
> > haben
> > Natürlich, und genau das war der Grund, warum ich
> > "salopper" geschrieben habe. Genauer steht's ohnedies
> > darüber.
>
> joa - ich kann mit dem Wort "salopp" nicht viel anfangen.
> Ich benutze es
> eigentlich i.W. nur, wenn ich keine Lust habe, alle
> Voraussetzungen aufzuzählen.
> Du benutzt es anders...
>
> Nebenbei: Du solltest Dein Ergebnis nochmal kontrollieren:
>
> [mm]\frac{1}{3}(\cos(x))^3+C[/mm]
>
> wird hier nicht rauskommen - siehe PN (minimaler Fehler).
Danke! Fehlendes Vorzeichen ist jetzt korrigiert.
Ad salopp: formlos, ungezwungen, locker, zwanglos, schlampig, lässig, nachlässig, nonchalant, leger, unkorrekt, hemdsärmelig,....
Es ging um eine kurze und prägnante Merkregel. Da darf die Exaktheit in der Formulierung schon mal auf der Strecke bleiben, solange man sie dann in der Ausführung nicht vermissen lässt
Gruß RMix
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Das mit d Kettenregel ist natuerlich elegant. Muss mal nachrechnen, ob ich es nachvollziehen kann. Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 07.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das mit d Kettenregel ist natuerlich elegant. Muss mal
> nachrechnen, ob ich es nachvollziehen kann. Danke!
das ist quasi die Substitutionsregel bzw. der Beweis dafür. Generell ist es
aber weniger schwer, als es vielleicht wirkt:
[mm] $\int \sin(x)*(\cos(x))^2dx$
[/mm]
war gesucht. Hier "sieht" man schonmal eine Vekettung von Funktionen:
[mm] $(\cos(x))^2$ [/mm] ist nichts anderes als
$(f [mm] \circ [/mm] g)(x)$ mit [mm] $f(t)=t^2$ [/mm] und [mm] $g(x)=\cos(x)\,.$ [/mm] ( Salopp gesagt. )
Oben steht mit diesen Bezeichnungen also
[mm] $\int \sin(x)*(f \circ g)(x)dx\,.$
[/mm]
Jetzt wollen wir aber eigentlich
[mm] $\int [/mm] g'(x)*(f [mm] \circ [/mm] g)(x)dx$
sehen (um, bis auf eine additive Konstante meinetwegen, dann
$(F [mm] \circ [/mm] g)(x)$
zu errechnen).
Also berechne [mm] $g'(x)=(-1)*\sin(x)\,.$
[/mm]
Also schreiben wir bspw.
[mm] $\int \sin(x) (\cos(x))^2dx=\int [/mm] (-1)*g'(x)*(f [mm] \circ g)(x)dx\,.$
[/mm]
Was kann man nun mit der noch "störenden" multiplikativen [mm] $(-1)\,$ [/mm] machen?
Grobe Anleitung: Suche eine äußere Funktion. (Oben war das die Quadratfunktion.)
Schau' Dir die innere Funktion an (oben war das [mm] $\cos$). [/mm] Leite die innere
ab und schau, ob dieser abgeleitete innere Funktion bis auf einen
multiplikativen Faktor ranmultipliziert wird. Falls ja, so greift die Methode
(Du musst nur eventuell "konstante Faktoren anpassen").
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Do 07.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gesucht ist das Integral
>
> [mm]\integral{(\cos x)^2\sin x dx} [/mm]
man wird hier
[mm] $\int (\cos(x))^2 \sin(x)dx=\frac{-1}{3}\cos^3(x)$ [/mm]
berechnen (wenn man das [mm] $\int$ [/mm] nur als Operator für das Auffinden EINER Stammfunktion
betrachtet).
Ich finde, dass das ein sehr interessantes Ergebnis ist, denn:
[mm] $\int(\cos^2(x))\sin(x)dx=\int (\sin(x)-\sin^3(x))dx=-\cos(x)-\int \sin^3(x)dx$
[/mm]
Also haben wir auch
[mm] $\int \sin^3(x)dx=\frac{1}{3}\cos^3(x)-\cos(x)=\frac{1}{3}\cos(x)*(\cos^2(x)-3)\,.$
[/mm]
Ich finde - für $k [mm] \in \IN$ [/mm] - Integrale der Form
[mm] $\int \sin^k(x)dx$ [/mm] bzw. [mm] $\int \cos^k(x)dx$
[/mm]
sehr interessant (aber mach' Dir keine Mühe: dafür gibt's schon eine
Formel, die man etwa induktiv beweisen kann).
Gruß,
Marcel
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Sicher?