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| Aufgabe | Man berechne folgende Integrale:
(a) [mm] \integral{\bruch{\wurzel{1-x^{2}}}{x^{2}}dx}
[/mm]
(b) [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{|1-x^{2}|}}} [/mm] |
Hallo zusammen. Ich möchte ja eigentlich niemanden über die Feiertage damit behelligen, habe aber leider keine Wahl. Vielleicht findet sich jemand der mir hilft.
Zu (a): Mit welchem Lösungsansatz muss ich an dieses Integral gehen? Sicherlich muss substituiert werden, nur wie? Habe versucht:
t = [mm] \wurzel{1-x^{2}}
[/mm]
-> |x|= [mm] \bruch{1}{\wurzel{t}}; dx=\bruch{2t}{-x}dt
[/mm]
würde dann die Fälle (i)x<0 und (ii) x>=0 unterscheiden, komme aber dann wieder auf Integrale mit Wurzel:
(i) [mm] \integral{3t^{3}\wurzel{t}dt}
[/mm]
(ii) [mm] \integral{3t^{3}(-\wurzel{t})dt}
[/mm]
Wie nun weiter, erneut substituieren?
u = [mm] \wurzel{t} [/mm] -> [mm] \integral{5u^{8}du} [/mm] = [mm] \bruch{5}{9}u^{9} [/mm] = [mm] \bruch{5}{9}t^{8} =\bruch{5(1-x^{2})^{7}}{9} [/mm] ?
Scheint mir alles nicht richtig. Substitution von t = [mm] x^{2} [/mm] bringt mich auch nicht weiter.
Laut Derive lautet die Lösung: [mm] -arcsin(x)-\bruch{\wurzel{1-x^{2}}}{x}
[/mm]
Zu (b): Ich berechne 2 Teilintegrale, weil Polstelle bei 1. Habe aber wieder Probleme, das einfache Integral [mm] \integral{\bruch{dx}{\wurzel{|1-x^{2}|}}} [/mm] zu berechnen, wegen des Betrags in der Wurzel.
Bei Substitution von t = [mm] |1-x^{2}| [/mm] komme ich nicht weiter, wegen dx = [mm] \bruch{dt}{|x^{2}|}
[/mm]
Wäre für jeden Hinweis dankbar, und wünsche schonmal frohe Feiertage.
#Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Bei Aufgabe b.) musst Du eine Fallunterscheidung machen für [mm] $1-x^2 [/mm] \ > \ 0$ bzw. [mm] $1-x^2 [/mm] \ < \ 0$.
Für [mm] $1-x^2 [/mm] \ > \ 0$ erhältst Du [mm] $\left|1-x^2\right| [/mm] \ = \ [mm] 1-x^2$ [/mm] und das Integral: [mm] $\integral{\bruch{dx}{\wurzel{1-x^2}}}$
[/mm]
Nun substituiere $x \ := \ [mm] \sin(t)$ $\Rightarrow$ [/mm] $x' \ = \ [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] \ = \ [mm] \cos(t)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hey , vielen Dank für die schnelle Antwort! :)
Also dann habe ich bei [mm] 1-x^{2} [/mm] > 0 für das linke Teilintervall [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und für das rechte keinen gültigen Grenzwert, weil arcsin(2) nicht definiert ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 So 16.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Für das Intervall bzw. den anderen Teilbereich [mm] $1-x^2 [/mm] \ < \ 0$ ergibt sich folgendes Integral:
[mm] $1-x^2 [/mm] \ < \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ $\left|1-x^2\right| [/mm] \ = \ [mm] -\left(1-x^2\right) [/mm] \ = \ [mm] x^2-1$ $\Rightarrow$ $\integral{\bruch{dx}{\wurzel{x^2-1}}}$
[/mm]
Hier führt nun folgende Substitution zum Ziel: $x \ := \ [mm] \cosh(t)$ [/mm] mit $x' \ = \ [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] \ = \ [mm] \sinh(t)$ [/mm] .
Nun sollte man noch wissen, dass gilt: [mm] $\cosh^2(t)-\sin^2(t) [/mm] \ = \ 1$ .
Für die Gesamtlösung des bestimmten Integrals musst Du also zerlegen:
[mm] $\integral_0^2{\bruch{dx}{\wurzel{\left|x^2-1\right|}}} [/mm] \ = \ [mm] \integral_0^1{\bruch{dx}{\wurzel{1-x^2}}}+\integral_1^2{\bruch{dx}{\wurzel{x^2-1}}} [/mm] \ = \ ...$
Streng genommen müsste man für die Integrationsgrenze $u \ = \ 1$ jeweils ein uneigentliches Integral betrachten mit anschließender Grenzwertbetrachtung $u \ [mm] \rightarrow [/mm] 1 [mm] \uparrow$ [/mm] bzw. $u \ [mm] \rightarrow [/mm] 1 [mm] \downarrow$ [/mm] , aber darauf kann man hier auch verzichten, da die jeweiligen Stammfunktionen an der Stelle $u \ = \ 1$ definiert sind.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 So 16.04.2006 | | Autor: | Martin-85 |
Herzlichen Dank für deine Hilfe, Loddar!
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Hallo Martin,
> Man berechne folgende Integrale:
> (a) [mm]\integral{\bruch{\wurzel{1-x^{2}}}{x^{2}}dx}[/mm]
Was ist wenn man hier [mm]x(t) = \cos(t);x'(t) = -\sin(t)[/mm] substituiert? Dann erhält man doch:
[mm]\int{\frac{\sqrt{1-\cos^2t}}{\cos^2t}(-\sin t)\mathrm{d}t} = \int{\frac{\sqrt{\sin^2t}}{\cos^2t}(-\sin t)\mathrm{d}t} = -\int{\tan^2t\mathrm{d}t}[/mm]
Aus
[mm]\tan't = \frac{\cos^2t + \sin^2 t}{\cos^2 t} = 1+\tan^2t[/mm]
erhälst du
[mm]\int{1\mathrm{d}t} + \int{\tan^2t\mathrm{d}t} = \tan t \gdw t-\tan t = -\int{\tan^2t\mathrm{d}t}[/mm]
Aber irgendwie kann ich auf den ersten Blick keine Übereinstimmung mit der Lösung von Derive erkennen. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Grüße
Karl
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Hallo Karl, danke für deinen Tipp. Aber so ganz komme ich da nicht mit:
Warum steht bei Substitution: x(t) = [mm] \cos(t) [/mm] und nicht x= cos(t)? x ist doch keine Funktion? Wenn dein Endergebnis tan(t) ist, muss ich ja t wieder einsetzten, aber ist dann t= [mm] x^{-1}(cos(t)) [/mm] ?
Und wie kommst du von [mm] -\integral{tan^{2}(t)dt} [/mm] auf [mm] \integral{1dt}+\integral{tan^{2}(t)dt}, [/mm] durch partielle Integration? Bei mir wäre da etwas ganz anderes rausgekommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Martin,
> Hallo Karl, danke für deinen Tipp. Aber so ganz komme ich
> da nicht mit:
> Warum steht bei Substitution: x(t) = [mm]\cos(t)[/mm] und nicht x=
> cos(t)? x ist doch keine Funktion?
Doch natürlich. x ist ja von t abhängig und damit eine Funktion von t.
> Wenn dein Endergebnis
> tan(t) ist, muss ich ja t wieder einsetzten, aber ist dann
> t= [mm]x^{-1}(cos(t))[/mm] ?
Richtig.
Für die Rücksubstitution brauchst du:
[mm] t\ =\ \arccos(x) [/mm]
> Und wie kommst du von [mm]-\integral{tan^{2}(t)dt}[/mm] auf
> [mm]\integral{1dt}+\integral{tan^{2}(t)dt},[/mm] durch partielle
> Integration? Bei mir wäre da etwas ganz anderes
> rausgekommen.
Keine partielle Integration, nur einfache Umformungen.
>
Hier nochmal die Rechnung von Karl:
$ [mm] \tan't [/mm] = [mm] \frac{\cos^2t + \sin^2 t}{\cos^2 t} [/mm] = [mm] 1+\tan^2t [/mm] $
Also ist $ [mm] \tan [/mm] t = [mm] \int{(1 + \tan^2t)\mathrm\ dt} [/mm] = $ [mm] \int{1\mathrm\ dt} [/mm] + [mm] \int{\tan^2t\mathrm\ dt}
[/mm]
$ [mm] \int{1\mathrm{d}t} [/mm] + [mm] \int{\tan^2t\mathrm{d}t} [/mm] = [mm] \tan [/mm] t [mm] \gdw t-\tan [/mm] t = [mm] -\int{\tan^2t\mathrm{d}t} [/mm] $
Jetzt musst du noch zurücksubstituieren und dabei noch ein bisschen umformen.
$ [mm] -\int{\tan^2t\mathrm\ dt} [/mm] $ = $ t - [mm] \tan [/mm] t $ = $ t - [mm] \bruch{\wurzel{1 - \cos^2 t}}{\cos t} [/mm] $
Jetzt rücksubstituieren:
$ = [mm] \arccos [/mm] x - [mm] \bruch{\wurzel{1-x^2}}{x} [/mm] $
und das ist bis auf eine Konstante dein Derive-Ergebnis.
Gruß
Sigrid
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