Integrationsgrenzen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 So 11.12.2011 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Sei K das Dreieck mit den Eckpunkten (0,0),(2,0) und (0,1).
[mm] \integral_{K}^{}{p(x,y) d(x,y)}=
[/mm]
[mm] \integral_{y=0}^{1}\integral_{x=0}^{2-2y}{p(x,y) d(x,y)}=\integral_{x=0}^{2}\integral_{y=0}^{1-(x/2)}{p(x,y) d(y,x)} [/mm] |
Hallo :)
habe leider mal wieder eine Frage an euch, die ich mir selbst nicht beantworten kann.
Ich habe hier dieses gegebene Integral, jedoch kann ich nicht ganz nachvollziehen, wie genau ich auf die integrationsgrenzen komme.
von y=0 bis y=1 ist klar, jedoch x=0 bis x=2-2y verstehe ich leider nicht.
hab mir mal überlegt vektoren aufzustellen durch: (0,0)+((2,0)-(0,0))=(2,0)
und (0,0)+((0,1)-(0,0))=(0,1) , daraus kann ich ja sehen, dass wenn ich die y-komp. als äußerste integration nehme, muss y bei 0 beginnen und bei y=1 enden. dass x bei 0 beginnen muss ist mir auch noch ziemlich klar, jedoch warum es bei x=2-2y endet verstehe ich nicht :(
könnt ihr mir das vielleich noch einmal erklären?
Liebe Grüße, eure Meely
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 So 11.12.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Sei K das Dreieck mit den Eckpunkten (0,0),(2,0) und
> (0,1).
>
> [mm]\integral_{K}^{}{p(x,y) d(x,y)}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{y=0}^{1}\integral_{x=0}^{2-2y}{p(x,y) d(x,y)}=\integral_{x=0}^{2}\integral_{y=0}^{1-(x/2)}{p(x,y) d(y,x)}[/mm]
>
> Hallo :)
>
> habe leider mal wieder eine Frage an euch, die ich mir
> selbst nicht beantworten kann.
>
> Ich habe hier dieses gegebene Integral, jedoch kann ich
> nicht ganz nachvollziehen, wie genau ich auf die
> integrationsgrenzen komme.
>
> von y=0 bis y=1 ist klar, jedoch x=0 bis x=2-2y verstehe
> ich leider nicht.
wenn Du zuerst nach x integrierst, ist die untere Grenze immer 0 - die obere Grenze aber variiert. Bei y=0 ist sie 2, bei y=1/2 ist sie 1 und bei y=1 ist sie 0. Die obere Grenze muss also eine Funktion von y, also $x=x(y)$ sein. Wenn Du diese Funktionsgleichung aufstellst kommst Du eben auf $x(y)=2-2y$.
>
> hab mir mal überlegt vektoren aufzustellen durch:
> (0,0)+((2,0)-(0,0))=(2,0)
> und (0,0)+((0,1)-(0,0))=(0,1) , daraus kann ich ja sehen,
> dass wenn ich die y-komp. als äußerste integration nehme,
> muss y bei 0 beginnen und bei y=1 enden. dass x bei 0
> beginnen muss ist mir auch noch ziemlich klar, jedoch warum
> es bei x=2-2y endet verstehe ich nicht :(
>
> könnt ihr mir das vielleich noch einmal erklären?
>
> Liebe Grüße, eure Meely
>
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 So 11.12.2011 | | Autor: | meely |
Danke für deine schnelle Antwort :)
>
> wenn Du zuerst nach x integrierst, ist die untere Grenze
> immer 0 - die obere Grenze aber variiert. Bei y=0 ist sie
> 2, bei y=1/2 ist sie 1 und bei y=1 ist sie 0. Die obere
> Grenze muss also eine Funktion von y, also [mm]x=x(y)[/mm] sein.
> Wenn Du diese Funktionsgleichung aufstellst kommst Du eben
> auf [mm]x(y)=2-2y[/mm].
>
das die obere grenze von y abhängt ist mir schon klar, jedoch nicht wie ich darauf komme.
ich kann die funktionsgleichung zwar nach deiner vorgabe aufstellen: ich weiß ja das die obere grenze x=2-2y sein muss, daher komme ich ja mit deiner überlegung dahin.
ABER: ich kann ohne zu wissen dass sie x=2-2y ist, gar nicht sagen dass für y=0 die obere "x-grenze" 2 ist. sprich ich kann ja die funktionsgleichung gar nicht erst aufstellen wenn ich sie nicht weiß ?!
meine frage ist ja: "wie komme ich überhaupt erst mal auf x=2-2y"
beim einheitskreis ist ja selbiges problem, nur da ist mir klar dass [mm] x^{2}+y^{2}=1 [/mm] (kreisgleichung) auf klare grenzen [mm] x=-sqrt(1-y^{2}) [/mm] bzw [mm] x=sqrt(1-y^{2}) [/mm] und eben nicht bei 0 startet.
ich suche eine methode, wie ich immer auf meine integralsgrenzen komme bzw. zumind. in diesem dreiecksbeispiel.
>
> Gruß,
>
> notinX
Liebe Grüße Meely :D
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Hallo meely,
> Danke für deine schnelle Antwort :)
>
> >
> > wenn Du zuerst nach x integrierst, ist die untere Grenze
> > immer 0 - die obere Grenze aber variiert. Bei y=0 ist sie
> > 2, bei y=1/2 ist sie 1 und bei y=1 ist sie 0. Die obere
> > Grenze muss also eine Funktion von y, also [mm]x=x(y)[/mm] sein.
> > Wenn Du diese Funktionsgleichung aufstellst kommst Du eben
> > auf [mm]x(y)=2-2y[/mm].
> >
>
> das die obere grenze von y abhängt ist mir schon klar,
> jedoch nicht wie ich darauf komme.
> ich kann die funktionsgleichung zwar nach deiner vorgabe
> aufstellen: ich weiß ja das die obere grenze x=2-2y sein
> muss, daher komme ich ja mit deiner überlegung dahin.
>
> ABER: ich kann ohne zu wissen dass sie x=2-2y ist, gar
> nicht sagen dass für y=0 die obere "x-grenze" 2 ist.
> sprich ich kann ja die funktionsgleichung gar nicht erst
> aufstellen wenn ich sie nicht weiß ?!
> meine frage ist ja: "wie komme ich überhaupt erst mal auf
> x=2-2y"
>
Um auf diese Gleichung zu kommen,
legst Du durch die Punkte (2,0) und (0,1) eine Gerade.
> beim einheitskreis ist ja selbiges problem, nur da ist mir
> klar dass [mm]x^{2}+y^{2}=1[/mm] (kreisgleichung) auf klare grenzen
> [mm]x=-sqrt(1-y^{2})[/mm] bzw [mm]x=sqrt(1-y^{2})[/mm] und eben nicht bei 0
> startet.
>
> ich suche eine methode, wie ich immer auf meine
> integralsgrenzen komme bzw. zumind. in diesem
> dreiecksbeispiel.
>
> >
> > Gruß,
> >
> > notinX
>
> Liebe Grüße Meely :D
Grus
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 So 11.12.2011 | | Autor: | meely |
> Hallo meely,
>
>
> Um auf diese Gleichung zu kommen,
> legst Du durch die Punkte (2,0) und (0,1) eine Gerade.
Perfekt ! vielen dank, warst wie immer eine große Hilfe :D
>
> Grus
> MathePower
Liebe Grüße Meely :D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 So 11.12.2011 | | Autor: | notinX |
> Danke für deine schnelle Antwort :)
>
> >
> > wenn Du zuerst nach x integrierst, ist die untere Grenze
> > immer 0 - die obere Grenze aber variiert. Bei y=0 ist sie
> > 2, bei y=1/2 ist sie 1 und bei y=1 ist sie 0. Die obere
> > Grenze muss also eine Funktion von y, also [mm]x=x(y)[/mm] sein.
> > Wenn Du diese Funktionsgleichung aufstellst kommst Du eben
> > auf [mm]x(y)=2-2y[/mm].
> >
>
> das die obere grenze von y abhängt ist mir schon klar,
> jedoch nicht wie ich darauf komme.
> ich kann die funktionsgleichung zwar nach deiner vorgabe
> aufstellen: ich weiß ja das die obere grenze x=2-2y sein
> muss, daher komme ich ja mit deiner überlegung dahin.
>
> ABER: ich kann ohne zu wissen dass sie x=2-2y ist, gar
> nicht sagen dass für y=0 die obere "x-grenze" 2 ist.
> sprich ich kann ja die funktionsgleichung gar nicht erst
> aufstellen wenn ich sie nicht weiß ?!
> meine frage ist ja: "wie komme ich überhaupt erst mal auf
> x=2-2y"
Wie gesagt, eine Gerade durch die zwei Punkte.
Noch ein Tipp: Mach Dir eine Zeichnung (falls Du das nicht schon getan hast), dann sollte das einfacher werden
>
> beim einheitskreis ist ja selbiges problem, nur da ist mir
> klar dass [mm]x^{2}+y^{2}=1[/mm] (kreisgleichung) auf klare grenzen
> [mm]x=-sqrt(1-y^{2})[/mm] bzw [mm]x=sqrt(1-y^{2})[/mm] und eben nicht bei 0
> startet.
>
> ich suche eine methode, wie ich immer auf meine
> integralsgrenzen komme bzw. zumind. in diesem
> dreiecksbeispiel.
>
> >
> > Gruß,
> >
> > notinX
>
> Liebe Grüße Meely :D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 So 11.12.2011 | | Autor: | meely |
Vielen Dank für die Hilfe :) habs verstanden :)
hab mir schon gedacht, dass es nur mit y=kx+d funktionieren kann.
Liebe Grüße, Meely :D
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