Integrationsgrenzen Volumenint < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Do 30.07.2009 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | 1) [mm] \delta [/mm] v dV = [mm] \integral_{r=0}^{1}{}\integral_{\nu=0}^{\bruch{\pi}{2}}{}\integral_{\delta=0}^{\bruch{\pi}{2}}{r^{2}*sin(\nu) dr d\nu d\delta}
[/mm]
2) Gegeben sei ein Körper durch die Flächen
e: z-1
[mm] g(x,y,z)=-x^{2}-y^{2}+z=0
[/mm]
Berechnen sie sein Volumen |
Hallo, ich hab für die morgige Klausur noch ein paar Fragen. Ich hoffe ihr könnt mir da helfen.
1)
Hier weiß ich nicht, wie ich auf die Integrationsgrenzen komme. In der Aufgabe sind die nicht gegeben, ich muss diese also ausrechnen, aber wie ?
2) Volumenintegral:
Grenzen nach Transformation in Zylinderkoordinaten
[mm] x=r*cos(\delta)
[/mm]
[mm] y=r*sin(\delta)
[/mm]
[mm] V=\integral_{z=0}^{1}{}\integral_{\delta=0}^{2*\pi}{}\integral_{r=c}^{\wurzel{z}}{r dr d\delta dz}
[/mm]
Hier auch wieder meine Frage, wie komme ich auf die Grenzen ?
VIELEN DANK !!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Do 30.07.2009 | | Autor: | Andrey |
1) Sieht aus wie irgendeine Achtel-Einheitskugel. Der Aufgabenstellung kann man tatsächlich schwer etwas entnehmen, weil sie nicht da ist. Zumindest auf der linken Seite ist beim TeXen anscheinend was schiefgelaufen?
2) Am besten überlegt man sich zuerst, über welchen Körper man hier etwas integrieren muss. Die erste gleichung ist eine Ebenengleichung, das ist einfach eine zur x-y-Ebene parallele Ebene im Abstand 1, das dürfte hoffentlich klar sein. Die zweite Varietät ist offensichtlich ein elliptisches Paraboloid, in diesem Fall einfach die Form, die bei der Rotation der "Normalparabel" um die z-Achse entstehen würde. Beide Flächen unterteilen den Raum jeweils in 2 Teile. Man skizziere oder überlege sich einfach, dass der [mm] \IR^3 [/mm] von diesen beiden Flächen in 4 bereiche zerlegt wird, von den 3 nicht messbar sind, da unendlich groß. Die einzige messbare Menge ist der kleine "Paraboloidstumpf" für z-werte zwischen 0 und 1, das sind auch schon die ersten Integrationsgrenzen. Wenn man das in Zylinderkoordinaten betrachtet, ist es klar, dass man für einen rotationssymmetrischen Paraboloidstumpf über den gesamten Winkel [mm] 0-2\pi [/mm] integrieren muss. Und da [mm] z=r^2 [/mm] gilt, muss man in der r-Richtung von 0 bis [mm] \wurzel[2]{z} [/mm] integrieren. Das kleine "c" war wohl auch ein Tippfehler, imho sollte da 0 stehen? Im integral selbst steht nur noch das Volumenelement für Zylinderkoordinaten, man will ja schließlich nur die Charakteristische Funktion integrieren.
greetz, Andrey
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