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Gibt es hier jemanden, der mir die wesentlichen Anwendungsgebiete von partieller Integration
logarithmischer Integration
Integration durch Substitution
erklären kann.
Ich müsste bis Sonntag wissen, woran ich erkenne, welche Methode ich anwenden, und am besten auch, wie die Methode im groben funktioniert. Habe leider keine Ahnung mehr wie das Funktioniert. Vieleicht kann ja jemand die allgemeinen Formeln hier rein schrieben und ev. ein Beispiel angeben, an dem man das nachvollziehen kann.
Ich danke im Voraus und wünsche alen Mathebegeisterten einen schönen Samstag!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Mofa |
> Gibt es hier jemanden, der mir die wesentlichen
> Anwendungsgebiete von partieller Integration
> logarithmischer Integration
> Integration durch Substitution
> erklären kann.
also die partielle integration wird auch produktintegration genannt und wird dann angewandt, wenn man ein produkt integriert. ich nehm mal das beispiel von meinem lehrer.
[mm]
\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} {x*cosx dx}[/mm]
hier sieht man ja ein produkt ([mm]x * cosx[/mm])
dann sucht man sich eins raus was u ist und eins was v' (also erste ableitung)ist, was was ist bleibt jedem selbst überlassen.
bei mir ist u = x und v' = cosx dann bildet man u' = 1 und v = sinx
dann geht's weiter. die formel wäre ja:
[mm]\integral {uv' dx} = uv - \integral {u'v dx}[/mm]
bei uns hieße das dann:
[mm]
\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} {x * cosx dx}
= \left[ x* sinx \right]_0^\bruch{\pi}{2} - \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} {1 * sinx dx}
= \left[ x* sinx\right]_0^\bruch{\pi}{2} - \left[ - cosx \right]_0^\bruch{\pi}{2}
= \bruch{\pi}{2} - 1 [/mm]
logarithmische integration kenn ich nicht.
integration durch substitution. nun wann man das benutzt ist schwer zusagen, dann wenn es anders nicht geht. und was man substituiert ist auch eine schwere frage (besonders bei wurzeln)
erstmal ein beispiel ohne grenzen. (is einfacher)
[mm]
\integral {\bruch{x^3}{\left( 1 + x^4 \right)^2}[/mm]
so da überlegt man sich was man substituiert und setzt es z (kannst auch nen anderen buchstaben nehmen)
[mm]
Substituion: z = 1 + x^4 [/mm]
(Ableitung) [mm] \bruch{dz}{dx} = 4x^3 \Rightarrow dx = \bruch{dz}{4x^3}
[/mm]
das setzt man dann ein:
[mm]
\integral { \bruch{x^3}{z^2} * \bruch{dz}{4x^3} }[/mm]
(dann kürzen und zusammenfassen)[mm]
= \integral \bruch{1}{4z^2} dz}
= \bruch{1}{4}\integral \bruch{1}{4z^2} dz}
= \bruch{1}{4} \left[ - \bruch{1}{z} \right]
[/mm](resubstituieren)[mm]
= \bruch{1}{4} \left( - \bruch{1}{1 + x^4} \right) + C[/mm]
(dann kann man noch ausmultiplizieren.)
Bei bestimmten integralen kann man es auch so machen, aber man kann sich das resubstituieren sparen, wenn man auch die grenzen substituiert.
[mm]
\integral_{1}^{2} {\bruch{x^3}{1 + x^4} dx}
z = 1 + x^4 [/mm]
(mit grenzen)[mm]
|_1^2 z= 1 + x^4 |_2^{17} [/mm] (alte grenzen in die gleichung einsetzen und ausrechnen
[mm]
\bruch{dz}{dx} = 4x^3 \Rightarrow dx = \bruch{dz}{4x^3}
\integral_{1}^{2} {\bruch{x^3}{1 + x^4} dx}
= \integral_{2}^{17} {\bruch{x^3}{z^2} * \bruch{dz}{4x^3} }
= \bruch{1}{4} \integral_{2}^{17} {\bruch{1}{z^2} dz}
= \bruch{1}{4} \left[ - \bruch{1}{z} \right]_2^{17}
= 0,11 [/mm]
hier einfach die grenzen wie gewohnt einsetzen ohne resubstituieren.
(ich übernehme keine gewähr für's ergebnis ich hab es nicht ausgerechnet )
ich hoffe es ist verständlich und hilft dir...(und hoffe es stimmt so)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Die logarithmische Integration bietet sich an bei Integralen der Form
$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx$,
wo also im Zähler gerade die Ableitung des Nenners (oder ein konstantes Vielfaches davon, dann kann man das Vielfache vor das Integral ziehen) steht.
Da nämlich wegen der Kettenregel
$\frac{d}{dx} \ln[f(x)] = f'(x) \cdot ln'(f(x)) = f'(x) \cdot \frac{1}{f(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)}$
gilt (beachte bitte: $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ und daher $\ln'(f(x)) = \frac{1}{f(x)}$), ist $\ln[f(x)]$ eine Stammfunktion von $\frac{f'(x)}{f(x)}$, und wir haben
$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \ln[f(x)] + C$,
mit einer Konstanten $C$.
Beispiel:
Wir wollen
$\int \frac{6x^2 + 2\cos(x)}{x^3 + \sin(x)}\, dx$
berechnen. Wegen
$\frac{d}{dx} \left[x^3 + \sin(x)] = 3x^3 + \cos(x)$
sehen wir, dass der Zähler gerade das Zweifache der Ableitung des Nenners ist. Ziehen wir also die $2$ vor das Integral, so haben wir die gewünschte Struktur!
Daher berechnen wir:
$\int \frac{6x^2 + 2\cos(x)}{x^3 + \sin(x)}\, dx = 2 \int \frac{3x^3 + \cos(x)}{x^3 + \sin(x)}\, dx = 2\ln[x^3 + \sin(x)] + C$,
denn
$\int \frac{3x^3 + \cos(x)}{x^3 + \sin(x)}\, dx = \int \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \ln[f(x)] + C = \ln[x^3 + \sin(x)] + C$,
nach der obigen Formel (mit $f(x) = x^3 + \sin(x)$).
Ich hoffe es ist dir etwas klarer geworden. Wenn es noch Unklarheiten gibt, kannst du gerne nachfragen. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Mofa |
ah ja, jetzt wo du es sagst, das hatten wir auch mal kurz, aber die herleitung nicht und so. aber wir hatten es auch mal kurz mittendrin *g*
hab ich auch was dazugelernt :)
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