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| Aufgabe | Seien A:=[0,4] [mm] \times [/mm] [0,4] und B:=[2,7] [mm] \times [/mm] [3,8].Berechnen sie die folgenden Integrale.
[mm] a)\integral_{R^2}({X_{A}+X_{B}) d\lambda^2}
[/mm]
[mm] b)\integral_{R^2}({X_{A}*X_{B}) d\lambda^2}
[/mm]
[mm] c)\integral_{R^2}({X_{B ohne A }) d\lambda^2} [/mm] |
Hallo!
Bei der c) soll das nicht Bohne sondern "B ohne A" heißen;).Ich habe sowas noch nie berechnet und aus dem Skript werde ich auch irgendwie nicht schlau.Kann mir da vielleicht jemand weiter helfen?
Lieben gruß
Eva Marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien A:=[0,4] [mm]\times[/mm] [0,4] und B:=[2,7] [mm]\times[/mm]
> [3,8].Berechnen sie die folgenden Integrale.
> [mm]a)\integral_{R^2}({X_{A}+X_{B}) d\lambda^2}[/mm]
>
> [mm]b)\integral_{R^2}({X_{A}*X_{B}) d\lambda^2}[/mm]
>
> [mm]c)\integral_{R^2}({X_{B ohne A }) d\lambda^2}[/mm]
> Hallo!
>
> Bei der c) soll das nicht Bohne sondern "B ohne A"
> heißen;).
dazu ein paar alternative Schreibweisen:
$B [mm] \text [/mm] { ohne }A$ liefert $B [mm] \text [/mm] { ohne [mm] }A\,.$
[/mm]
$B [mm] \setminus [/mm] A$ liefert $B [mm] \setminus A$\,.
[/mm]
$B [mm] \;ohne\;A$ [/mm] liefert $B [mm] \;ohne\;A\,.$ ([nomm]$\;$[/nomm] [/mm] erzeugt eine (etwas größere) Lücke.)
Siehe auch hier oder auch ![[]](/images/popup.gif) hier [mm] ($\leftarrow$ letzteres ist etwas allgemeiner).
> Ich habe sowas noch nie berechnet und aus dem
> Skript werde ich auch irgendwie nicht schlau.Kann mir da
> vielleicht jemand weiter helfen?
Na, anstatt $X_A$ etc. steht dort sicher $\chi_{A}\,,$ die [/mm] charakt. Funktion auf [mm] $\black{A}\,.$
[/mm]
(Eines mal vorneweg:
Zeichne Dir ruhig mal die Mengen [mm] $\black{A}$ [/mm] und [mm] $\black{B}$ [/mm] in einem kartesischen Koordinatensystem ein.)
Bei a) kannst Du aus dem Integral über die Summe zweier Funktionen eine Summe zweier Integrale machen. Prüfe halt, dass beide Funktionen messbar sind (was hier eine Trivialität ist).
Bei b) kannst Du z.B. zunächst beweisen, dass [mm] $\chi_A \chi_B=\chi_{A \cap B}$ [/mm] gilt. Hier ist $A [mm] \cap [/mm] B=[2,4] [mm] \times [/mm] [3,4]$ (das kann man auch formal beweisen, wenn man mag, aber anhand einer Skizze ist das offensichtlich).
Bei c): Überlege Dir mal, wieso $B=(B [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \overset{d}{\cup}(A \cap [/mm] B)$ gilt und wie man das (zusammen mit dem Ergebnis aus b)) ins Spiel bringen kann. [mm] ($\overset{d}{\cup}$ [/mm] bedeutet 'disjunkt vereinigt mit'.)
Noch ein weiterer Tipp:
Wenn Du im [mm] $\IR^2$ [/mm] ein abgeschlossenes Rechteck [mm] $\tilde{R}=[a,b] \times [/mm] [c,d]$ gegeben hast, dann gilt:
[mm] $\chi_{\tilde{R}}(x)$ [/mm] ist genau dann [mm] $\black{1}\,$ [/mm] wenn $x [mm] \in \IR^2$ [/mm] auch auf dem (abgeschlossenen) Rechteck liegt, ansonsten hat diese Funktion den Wert [mm] $\black{0}\,.$
[/mm]
Geometrisch ist also [mm] $\int_{\IR^2} \chi_{\tilde{R}}(t) d\lambda^2(t)\,,$ [/mm] weil [mm] $\lambda^2$ [/mm] gerade das Lebesgue-Maß auf dem [mm] $\IR^2$ [/mm] ist, nichts anderes als der Flächeninhalt des Rechtecks [mm] $\tilde{R}=[a,b] \times [c,d]\,.$ [/mm] Also [mm] $\int_{\IR^2} \chi_{[a,b] \times [c,d]}d\lambda^2=(b-a)*(d-c)\,.$ [/mm] Leider weiß ich nicht genau, wie ihr [mm] $\lambda^2$ [/mm] auf dem [mm] $\IR^2$ [/mm] definiert habt. Aber das von mir erwähnte ist entweder per Definitionem so oder läßt sich per Definitionem mit einer trivialen Überlegung herleiten, oder es läßt sich mit Eurer Definition von [mm] $\lambda^2$ [/mm] und Eurem Wissensstand herleiten. Das [mm] $\int_\IR^2 \chi_{[a,b] \times [c,d]}d\lambda^2=(b-a)*(d-c)$ [/mm] ist, wird jedenfalls auch durch den Satz von Fubini bestätigt. Und mit den Tipps oben brauchst Du eigentlich auch nicht mehr, bzw. damit besteht die ganze Aufgabe nur noch darin, den Flächeninhalt gewisser Rechtecke auszurechnen. Wenn Du einen Link zu Eurem Skriptum hättest, dann könnte ich Dir auch genauer sagen, wie Du das genauer notieren hast. Das kann ein wenig variieren.
(In der von mir besuchten Vorlesung haben wir quasi auf dem [mm] $\IR^2$ [/mm] einen Erzeuger des Borel-Lebesgue-Maßes durch linksoffene, rechtsabgeschlossene Intervalle definiert, und das als Teilmenge des [mm] $\IR \times \IR\,,$ [/mm] aber so, dass die Intervallenden rationale Zahlen sind, also:
[mm] $\{(a,b] \times (c,d]:\;a < b \text{ und }c < d\ \text{ und } a,b,c,d \in \IQ\}\,.$
[/mm]
(Hier ginge es auch, dass man $(a,b]$ und $(c,d]$ durch $[a,b)$ und $[c,d)$ ersetzt usw.)
und dann damit [mm] $\lambda^2$ [/mm] auf [mm] $\IR^2$ [/mm] definiert (da braucht's noch ein paar Überlegungen). Aber da gibt es auch noch andere Wege, das Maß [mm] $\lambda^2$ [/mm] einzuführen. Wichtig ist, dass, egal, wie man es einführt, das Maß [mm] $\lambda^2$ [/mm] auf [mm] $\IR^2$ [/mm] dann auch bei dem einen Wege das gleiche ist wie das auf dem anderen Wege  .)
Deshalb musst Du jetzt halt mal nachgucken, wie sich das von mir oben gesagte mit Euren Hilfsmitteln auch zeigen läßt (das sollte eigentlich, egal, wie ihr [mm] $\lambda^2$ [/mm] eingeführt habt, relativ leicht von der Hand gehen). Aber wenn Du einen Link zu Eurem Skriptum hast, dann kann ich da auch gerne Mal einen Blick reinwerfen und Dir genauer sagen, was Du erwähnen solltest bzw. benötigst.
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
Vielen Dank für deine umfangreiche Antwort.Leider muss ich gestehen,dass ich nicht wirklich viel verstanden habe von dem was du geschrieben hast.Ich hänge in Analysis zur zeit hinterher.Es ist alles nicht so einfach.Naja aber ich versuch es trotzdem mal,zu der a) sagtest du die Meßbarkeit wäre trivial.Laut Definition: Seien (X,A),(Y,B) Meßräume.Eine Abbildung f:X---> Y heißt meßbar,falls [mm] f^{-1}(B) \in [/mm] A für alle B [mm] \in [/mm] B.Ich wüsste das hier aber nicht praktisch anzuwenden.Vielleicht sollte ich doch erst nochmal ein bisschen im Skript zurück blättern...
LG
eva marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
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> Vielen Dank für deine umfangreiche Antwort.Leider muss ich
> gestehen,dass ich nicht wirklich viel verstanden habe von
> dem was du geschrieben hast.Ich hänge in Analysis zur zeit
> hinterher.Es ist alles nicht so einfach.Naja aber ich
> versuch es trotzdem mal,zu der a) sagtest du die Meßbarkeit
> wäre trivial.Laut Definition: Seien (X,A),(Y,B)
> Meßräume.Eine Abbildung f:X---> Y heißt meßbar,falls
> [mm]f^{-1}(B) \in[/mm] A für alle B [mm]\in[/mm] B.Ich wüsste das hier aber
> nicht praktisch anzuwenden.Vielleicht sollte ich doch erst
> nochmal ein bisschen im Skript zurück blättern...
ja, das solltest Du tun. Du musst mal nachgucken, wie ihr Integrale eingeführt habt. Sicherlich mit sogenannten einfachen Funktionen (oft werden die auch als Treppenfunktionen bezeichnet, wobei strenggenommen diese Begriffswahl eigentlich eher schlecht ist; aber ich habe das auch mit dem Begriff "Treppenfunktionen" kennengelernt).
Schau' mal nach, wie ihr das Integral über (verallgemeinerte) Treppenfunktionen (besser: einfache Funktionen) definiert habt.
(Siehe auch hier, S.34ff.)
Zur Erinnerung: In diesem Skript verweise ich mal Beispiel 1.34, Definition 1.9, Kapitel 1.8 und dann Kapitel 2 (Seite 25ff, Zählung intern).
Es ist schon sehr wichtig, dass Du diese Grundlagen verstehst. Denn ihr werdet den Integralbegriff auch noch erweitern, und dazu muss man diese verstanden haben, sonst steht man ganz im Dunkeln (wenn Du magst, kannst Du ja mal das Kapitel 2 bei dem letzten Skript komplett überfliegen, dann wirst Du feststellen, dass es ohne diese Grundlagen nicht geht).
> LG
> eva marie
Liebe Grüße zurück 
Marcel
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