Integrierbarkeit < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Di 08.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:S\to [-\infty,\infty] [/mm] bezüglich [mm] \mu [/mm] integrierbar.
Dann gilt [mm] |f|<\infty [/mm] fast überall. |
Das Stichwort fast überall hat ja meist mit Nullmengen zu tun, daher ist hier bestimmt zu zeigen, dass [mm] N:=\{s:|f(s)|=\infty\} [/mm] eine Nullmenge ist, dass also gilt: [mm] \mu(N)=0.
[/mm]
Doch ich weiß nicht so wirklich, wie man das machen kann.
Kann mir bitte jemand helfen?
Das Einzige, das mir hierzu einfällt, ist:
Da f nach Voraussetzung integrierbar ist, gilt:
[mm] \integral |f|<\infty
[/mm]
Insbesondere ist f (als integrierbare Funktion) doch auch meßbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Di 08.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe gerade einen Beweis für diese Aussage gefunden.
Ich verstehe diesen Beweis jedoch nicht.
Vielleicht kann mir das jemand erklären?
Beweis aus "Einführung in die höhere Analysis" von Dirk Werner, S. 244 :
"Für alle n ist [mm] n\chi_{\{ |f|=\infty\}}\leq |f| [/mm]; daher folgt (beachte [mm] \{ |f|=\infty\}\in \mathcal{A})
[/mm]
[mm] n\mu(\{ |f|=\infty\})=\integral_S n\chi_{\{ |f|=\infty\}} d\mu\leq \integral_S |f| d\mu<\infty [/mm] und daraus [mm] \mu(\{ |f|=\infty\})=0 [/mm]."
Ich verstehe gar nicht, was das n ist und was die Menge [mm] \{ |f|=\infty\} [/mm] eigentlich ist: Sind dort alle Elemente s enthalten, für die gilt: [mm] |f(s)|=\infty [/mm]? Wieso ist [mm] n\chi_{\{ |f|=\infty\}}\leq [/mm] |f| für alle n?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Di 08.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Du schreibst:
"Ich verstehe gar nicht, was das n ist und was die Menge $ [mm] \{ |f|=\infty\} [/mm] $ eigentlich ist: Sind dort alle Elemente s enthalten, für die gilt: $ [mm] |f(s)|=\infty [/mm] $? Wieso ist $ [mm] n\chi_{\{ |f|=\infty\}}\leq [/mm] $ |f| für alle n? "
1. n [mm] \in \IN
[/mm]
2. $ [mm] \{ |f|=\infty\} [/mm] = [mm] \{ s: |f(s)|=\infty \}$
[/mm]
FRED
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