Integrierbarkeit von f/g < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich möchte zeigen, dass der Quotient f/g zweier auf einem kompakten Intervall [a, b] Riemann-integrierbarer Funktionen wieder auf [a, b] Riemann-integrierbar ist. Dazu habe ich natürlich die Voraussetzung, dass [mm] g(x)\not=0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a, b]. Mit dem Lebesgue-Kriterium folgt, dass die Menge der Unstetigkeitsstellen von g eine Nullmenge bildet und damit auch die Menge der Unstetigkeitsstellen von 1/g. Also ist 1/g Riemann-integrierbar und damit auch f/g. Kann mir jemand sagen ob ich das richtig habe oder ob man noch was anderes beachten muss?
VG, Christoph
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Hiho,
vermischst du hier nicht Riemann- und Lebesgue-Integrierbarkeit?
Nicht jede Lebesgue-integrierbare Funktion ist auch Riemann-integrierbar!
Ganz davon ab, dass bei weitem nicht jede Funktion, wo die Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge bilden, Riemann-Integrierbar ist.
Bspw: [mm] $1_\IQ$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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Hallo Gono!
Also das Lebesgue'sche Integrabilitätskriterium sagt doch, dass eine
Funktion f: [a, b] [mm] \to [/mm] |R genau dann auf [a, b] Riemann-integrierbar ist, wenn
sie dort beschränkt und "fast überall" stetig ist. Fast überall stetig soll dabei heißen, dass die Punkte von [a, b], in denen sie unstetig ist, eine Nullmenge bilden. Demnach müsste doch 1/g Riemann-integrierbar sein, wenn das für g gilt (g(x) [mm] \not= [/mm] 0 für alle x aus [a, b] wieder vorausgesetzt). Wo liegt denn da mein Fehler?
MfG,
Christof
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Hiho,
> Wo liegt denn da mein Fehler?
dazu später, ich hatte aber einen.
Kannst dir ja mal überlegen, warum meine Funktion [mm] $1_\IQ$ [/mm] kein Gegenbeispiel zu dem Satz ist, es ist nämlich keins....
Aber betrachte doch mal:
$[a,b] = [0,1]$
$g(x) = [mm] \begin{cases} x, x>0 \\ 1, x=0 \end{cases}$
[/mm]
Ist offensichtlich R-Integrierbar und erfüllt deine Voraussetzungen.
Was ist mit [mm] \bruch{1}{g} [/mm] ?
Wo geht deine Argumentation dann kaputt?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Fr 10.08.2012 | | Autor: | Peter_Pan2 |
Hallo Gono!
Denke mir ist jetzt bewusst, dass 1/g nicht beschränkt sein muss, wenn man nur g(x) [mm] \not= [/mm] 0 auf [a, b] voruassetzt, da ja auch der Fall inf g([a, b]) = 0 nicht ausgeschlossen ist und dann 1/g sicher unbeschränkt ist.
VG, Christof
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Fr 10.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Ich möchte zeigen, dass der Quotient f/g zweier auf einem
> kompakten Intervall [a, b] Riemann-integrierbarer
> Funktionen wieder auf [a, b] Riemann-integrierbar ist. Dazu
> habe ich natürlich die Voraussetzung, dass [mm]g(x)\not=0 \forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] [a, b].
Das reicht nicht. Du benötigst: es ex. ein q>0 mit |g(x)| [mm] \ge [/mm] q für alle x [mm] \in [/mm] [a,b].
Dann ist 1/g beschränkt.
> Mit dem Lebesgue-Kriterium folgt, dass die
> Menge der Unstetigkeitsstellen von g eine Nullmenge bildet
> und damit auch die Menge der Unstetigkeitsstellen von 1/g.
> Also ist 1/g Riemann-integrierbar und damit auch f/g. Kann
> mir jemand sagen ob ich das richtig habe oder ob man noch
> was anderes beachten muss?
Ist O.K.
FRED
>
> VG, Christoph
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ok, also ein festes q > 0 mit |g(x)| [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a, b] habe ich auch in einem buch (Heuser - Analysis 1) als Voraussetzung gesehen, in einem anderen aber wurde nur g(x) [mm] \not=0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a, b] vorausgesetzt. Jetzt frage ich mich was denn stimmt? Bin da jetzt ein bisschen verwirrt..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Fr 10.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> ok, also ein festes q > 0 mit |g(x)| [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm]
> [a, b] habe ich auch in einem buch (Heuser - Analysis 1)
> als Voraussetzung gesehen, in einem anderen aber wurde nur
> g(x) [mm]\not=0 \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a, b] vorausgesetzt. Jetzt frage
> ich mich was denn stimmt?
So wie ich es Dir gesagt habe.
Ist g(x) [mm]\not=0 \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a, b] , so muß 1/g auf [a, b] nicht beschränkt sein.
FRED
Bin da jetzt ein bisschen
> verwirrt..
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Okay, das macht Sinn, ich denke ich verstehe es. Wenn man nur g(x) [mm] \not= [/mm] 0 fordert, sind Fälle eingeschlossen, in denen es zu jedem positiven y ein x aus [a, b] geben kann, so dass 1/g(x) > y wird. Das wäre z. B. der Fall, wenn
das Infimum der Funktionswerte g(x) (x aus [a, b]) gleich 0 wäre.
Also ist das, was ich z. B. in Burg, Haf, Wille - Mathematik für Ingenieure Band 1 gelesen habe (wo nur g(x) [mm] \not= [/mm] 0 gefordert war) schlicht falsch?
MfG und danke für den Hinweis,
Christof
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Fr 10.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, wenn es da so steht! Papier ist geduldig, dehlerfreie Bücher selten.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Fr 10.08.2012 | | Autor: | Peter_Pan2 |
ok, danke für die antworten, das hat mir sehr geholfen!
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