www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationIntegrieren
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Integration" - Integrieren
Integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integrieren: Hilfestellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:26 So 27.05.2007
Autor: Haase

Aufgabe
Integrieren Sie:
a) Integral( x*ln(x) dx)

b) Integral( [mm] e^x [/mm] * sin(x) dx)

Hallo Alle miteinander!

Helft mir mal bitte beim Integrieren. Als Erstes weiss ich immer nicht wie ich vorgehen soll:
Entweder Partielle Integration oder Substitution.
Ich bin bis jetzt so vorgegangen:
Wenn ich das Integral so umformen kann, das ich die Partielle Integrationsregel anwenden kann, dann nehme ich diese, wenn das nicht geht dann nehme ich die Substitutionsregel.
Das hat auch bei einigen Aufgaben geklappt bis auf die Oben gennanten zwei.

a) Integral( x*ln(x) dx) sollte rauskommen: [mm] 1/4*x^2*(2*ln(x)-1) [/mm]
Mein Rechenweg:
Partielle Integrationsregel kann ich nicht anwenden, da ich später dann nicht die Stammfunktion von ln(g) habe. g=x
Deshalb nehme ich die Substitutionsregel:
g(x) = x ; f'(x) = ln(x)

Integral(f'(x)*g(x) dx = f(x) * g(x) - Integral(g'(x)*f(x) dx
= 1/x * x - Integral(1*1/x dx
= 1 - Integral(1/x) dx
= 1 - ln|x| + C

b) Integral( [mm] e^x [/mm] * sin(x) dx) sollte rauskommen: [mm] 1/2*e^x [/mm] *(sin(x)-cos(x))
Substitutionsregel nehme ich, da ich das [mm] e^x [/mm] rausnehmen kann und dann klappt die Bedingung => [mm] e^x [/mm] * Integral(1*sin(x) dx

Rechnung:
Integral(g'(x)*f(g(x)) dx = [mm] e^x [/mm] * Integral(g'(x) * sin(g(x)) dx
= [mm] e^x [/mm] * Integral(g) dg         mit g = x
= [mm] e^x [/mm] * -cos(g)+C
= [mm] -e^x [/mm] *cos(x) + C

Vielen Dank im Vorraus.
Gruß Haase



        
Bezug
Integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 So 27.05.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Carsten,

zunächst mal würde es das Lesen wahrlich erleichtern, wenn du den Formeleditor benutzt - ist nicht allzu schwierig ;-)



>  
> a) Integral( x*ln(x) dx) sollte rauskommen:
> [mm]1/4*x^2*(2*ln(x)-1)[/mm]
>  Mein Rechenweg:
>  Partielle Integrationsregel kann ich nicht anwenden, da
> ich später dann nicht die Stammfunktion von ln(g) habe.
> g=x
>  Deshalb nehme ich die Substitutionsregel: [kopfkratz3]
>  g(x) = x ; f'(x) = ln(x)

Das ist doch genau der Ansatz der partiellen Integration, der hier auch völlig richtig ist!!

> Integral(f'(x)*g(x) dx = f(x) * g(x) - Integral(g'(x)*f(x)
> dx
>  = 1/x * x - Integral(1*1/x dx  [mm] \red{Hier steckt der Fehler, eine Stammfunktion von ln(x) ist xln(x)-x} [/mm]

>  = 1 - Integral(1/x) dx
>  = 1 - ln|x| + C

V ersuche hier nochmal die p.I mit der Stammfunktion xln(x)-x für ln(x), dann solltest du kommen auf: [mm] \int{xln(x)dx}=x(xln(x)-x)-\int{(xln(x)-x)dx} [/mm]

Da kannste das hintere Integal auseinanderziehen und dann [mm] \int{xln(x)dx} [/mm] auf die andere Seite der Gleichung bringen.


> b) Integral( [mm]e^x[/mm] * sin(x) dx) sollte rauskommen: [mm]1/2*e^x[/mm]
> *(sin(x)-cos(x))
>  Substitutionsregel nehme ich, da ich das [mm]e^x[/mm] rausnehmen
> kann [notok]

Nein, das kannst du nicht, in [mm] e^x [/mm] steckt doch die Integralitonsvariable x noch drin.
Hier musst du zweimal partiell integrieren. Setze dazu [mm] f(x):=e^x, [/mm] g'(x):=sin(x).

Dann hast du vom Prinzip her eine Gleichung wie in (a), in der auf beiden Seiten das [mm] \int{e^xsin(x)dx} [/mm] vorkommt. Nach dem Integral umstellen und dann haste es

und dann klappt die Bedingung => [mm]e^x[/mm] *

> Integral(1*sin(x) dx
>  
> Rechnung:
>  Integral(g'(x)*f(g(x)) dx = [mm]e^x[/mm] * Integral(g'(x) *
> sin(g(x)) dx
>  = [mm]e^x[/mm] * Integral(g) dg         mit g = x
>  = [mm]e^x[/mm] * -cos(g)+C
>  = [mm]-e^x[/mm] *cos(x) + C
>  
> Vielen Dank im Vorraus.
>  Gruß Haase
>


Gruß zurück

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 So 27.05.2007
Autor: Haase

Danke für deinen Ansatz.

Ich bin gerade bei a) und komme nicht mehr weiter bei:
= [mm] x^2*ln(x)-x^2 [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{x*ln(x)-x dx} [/mm]



Bezug
                        
Bezug
Integrieren: umformen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 So 27.05.2007
Autor: Loddar

Hallo Haase!


Formen wir einfach mal um bzw. ziehen das hinterer Integral auseinander:

[mm] $\red{\integral{x*\ln(x) \ dx}} [/mm] \ = \ [mm] x^2*\ln(x)-x^2 -\integral{x*\ln(x)-x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x^2*\ln(x)-x^2 -\red{\integral{x*\ln(x) \ dx}} +\integral{x \ dx}$ [/mm]

Und nun nach [mm] $\red{\integral{x*\ln(x) \ dx}} [/mm] \ = \ ...$ umstellen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 So 27.05.2007
Autor: Haase

Ich glaub ich bin zu Blöd dafür :-)

[mm] \integral_{}^{}{x*ln(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x dx} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{x*ln(x)-x dx} [/mm]

Jetzt hackt es aber wie vorhin...

Bezug
                                        
Bezug
Integrieren: nächste Schritte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:24 So 27.05.2007
Autor: Loddar

Hallo Haase!


Aus $ [mm] \red{\integral{x\cdot{}\ln(x) \ dx}} [/mm]  \ = \ [mm] x^2\cdot{}\ln(x)-x^2 -\red{\integral{x\cdot{}\ln(x) \ dx}} +\integral{x \ dx} [/mm] $ erhalten wir doch:


$ [mm] \red{\integral{x\cdot{}\ln(x) \ dx}} [/mm] \ = \ [mm] x^2\cdot{}\ln(x)-x^2 -\red{\integral{x\cdot{}\ln(x) \ dx}} +\bruch{1}{2}x^2$ [/mm]

$ [mm] \red{\integral{x\cdot{}\ln(x) \ dx}} [/mm]  \ = \ [mm] x^2\cdot{}\ln(x)-\bruch{1}{2}x^2 -\red{\integral{x\cdot{}\ln(x) \ dx}}$ $\left| \ + \ \red{\integral{x\cdot{}\ln(x) \ dx}}$ $ \red{2}*\integral{x\cdot{}\ln(x) \ dx} \ = \ x^2\cdot{}\ln(x)-\bruch{1}{2}x^2$ Und nun durch $2_$ teilen ... Gruß Loddar [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Integrieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 So 27.05.2007
Autor: Haase

Vielen Dank euch beiden. Jetzt habe ich es geschnallt. Danke!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]