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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 So 06.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Ich weiß absolut nicht, wie das folgende Integral integriert wird:
[mm] \integral {2x*e^{-2x} dx}
[/mm]
Es geht weder mit der Partiellen Integration, da man da ständig nochmals partiell integrieren muss, aber nicht auf die Koeffizienten im Ausgangsintegral kommt um zu vereinfachen, noch mit der Substitutionsregel, da wenn u = -2x, du = -2dx -> dx = -1/2 du und damit lässt sich nicht integrieren.
Wer kann mir weiterhelfen?
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Hallo,
der Ansatz klingt doch ganz gut.
[mm] \integral [/mm] {u(x)v'(x) dx} = u(x)*v(x) - [mm] \integral{u'(x)*v(x) dx}
[/mm]
Mit u(x) = 2x folgt u'(x) = 2 und
mit v'(x) = exp^(-2x) folgt v(x) = -1/2 exp^(-2x)
= 2x*(-1/2 exp^(-2x)) - [mm] \integral{2*(-1/2) exp^(-2x) dx}
[/mm]
Das kann man ja zusammenfassen zu:
= -x*exp^(-2x) + [mm] \integral{exp^(-2x)dx}
[/mm]
Hoffe, dass ich mich auf dem Weg nicht vertüddelt habe.
Marthasmit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 06.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Und aus
[mm] -x*e^{-2x} [/mm] + [mm] \integral{e^{-2x} dx} [/mm] folgt dann
[mm] -x*e^{-2x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*e^{-2x} [/mm] + c
= [mm] e^{-2x} [/mm] (-x - [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] + c
Dann lag das bei mir am Vertauschen von v(x) und u'(x) im Ausgangsintegral. Ich hatte u' = 2x und v = [mm] e^{-2x}. [/mm] Daher hätte ich ständig noch mal partiell integrieren müssen.
Wie bekommt man heraus, welchen Faktor im Integral man für u'(x) und welchen für v(x) nehmen muss?
Die eigentliche Aufgabe kommt nämlich erst noch: Das Integral soll als uneigentliches Integral berechnet werden:
[mm] \integral_{0}^{ \infty} {2x*e^{-2x} dx}
[/mm]
MfG Sue
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 So 06.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
eine geschickte wahl für $v$ ist meistens etwas, was recht schnell verschindet, also polynomielle ausdrücke, wie z.b. $x$, da das nach dem ableiten im integral auf der rechten seite nicht mehr vorkommt. das ist aber natürlich kein patentrezept, aber bei "gewöhnlicher" partieller integration (also wo man nach einer partiellen integration ein einfacheres integral, das direkt zu lösen ist erhält) meist recht hilfreich.
um deine aufgabe zu beenden musst du nun nur noch den grenzwert für $ x [mm] \to \infty$ [/mm] bilden (bedenke dabei, dass die exponentialfunktion für negative exponenten stärker gegen null geht, als polynome wachsen) und dann den wert der stammfunktion an der stelle $x=0$ berechnen und voneinenader sutrahieren.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 So 06.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Die Lösung am Ende ist 0 -(-1/2) = 1/2
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