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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Sa 24.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
[mm] \integral \bruch{sin^(ln(x))}{x} [/mm] dx
Hier habe ich Mühe...
ln(x) abgeleitet gibt ja [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ...
Doch ich krieg das einfahc nicht auf die Reihe
Danke, Gruss Kuriger
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Hallo,
> Hallo
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> [mm]\integral \bruch{sin^(ln(x))}{x}[/mm] dx
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> Hier habe ich Mühe...
>
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> ln(x) abgeleitet gibt ja [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ...
>
> Doch ich krieg das einfahc nicht auf die Reihe
Das ist der richtiger Ansatz!
Also [mm] $u=u(x):=\ln(x) [/mm] \ \ [mm] \Rightarrow u'(x)=\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}$, [/mm] also $dx=x \ du$
Das ersetze mal im Intergral, was erhältst du?
>
> Danke, Gruss Kuriger
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Sa 24.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
x = [mm] e^{u}
[/mm]
dx = x * du
[mm] \integral \bruch{sin^2 ln(e^{u})}{e^{u}} [/mm] x * du = [mm] \integral \bruch{sin^2 (u)}{e^{u}} e^{u} [/mm] * du = [mm] \integral sin^2(u) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] cos^3(u) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] cos^3(ln(x)) [/mm] + c Ist das so gemeint?
Wenn ich jetzt ein bestimmtes Integral, also mit Zahlen habe, so müsste ich gar nicht mehr zurücksubstituiere, sondern könnte das Integral direkt mit dem Substitut ausrechnen=?
Danke, Gruss Kuriger
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Hallo nochmal,
> Hallo
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> x = [mm]e^{u}[/mm]
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> dx = x * du
>
> [mm]\integral \bruch{sin^2 ln(e^{u})}{e^{u}}[/mm] x * du = [mm]\integral \bruch{sin^2 (u)}{e^{u}} e^{u}[/mm] * du = [mm]\integral sin^2(u)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> = - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]cos^3(u)[/mm] = - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]cos^3(ln(x))[/mm] + c ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Ist das so gemeint?
Ja, nur die Integration ist furchtbar daneben gegangen 
Das Integral [mm] $\int{\sin^2(u) \ du}$ [/mm] kannst du mit partieller Integration erlegen.
Dass deine Stfk nicht stimmen kann, kannst du schnell einsehen, wenn du sie wieder ableitest, es müsste ja wieder [mm] $\sin^2(u)$ [/mm] herauskommen (bzw. in der Variable x dann entsprechend der Ausgangsintegrand) ...
>
> Wenn ich jetzt ein bestimmtes Integral, also mit Zahlen
> habe, so müsste ich gar nicht mehr zurücksubstituiere,
> sondern könnte das Integral direkt mit dem Substitut
> ausrechnen=?
Genau, dann müsstest du aber auch die ursprünglichen Grenzen (in x) umrechnen in Grenzen in u!
>
> Danke, Gruss Kuriger
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Sa 24.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo schachuzipus
Danke, das war aber anders daneben...
gemäss meinem Goniometerblatt gilt:
cos (2x) = 1 - [mm] 2sin^2(x)
[/mm]
[mm] sin^2(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (1 - cos(2x)) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] cos(2x)
[mm] \integral sin^2(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * sin (2x)
Und noch mit Partieller Integration
[mm] \integral sin^2(x) [/mm] = [mm] \integral [/mm] sin(x) * sin (x) = - cos(x) * sin(x) + [mm] \integral cos^2(x)
[/mm]
Was mache ich hier falsch? Denn so komme ich dem Resultat nicht näher
Danke, Gruss Kuriger
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus
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> Danke, das war aber anders daneben...
>
> gemäss meinem Goniometerblatt gilt:
> cos (2x) = 1 - [mm]2sin^2(x)[/mm]
> [mm]sin^2(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * (1 - cos(2x)) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] cos(2x)
>
> [mm]\integral sin^2(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] x - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * sin
> (2x)
Guter Plan, mit den Additionstheoremen kannst du dir die partielle Integration sparen
>
>
> Und noch mit Partieller Integration
>
> [mm]\integral sin^2(x)[/mm] = [mm]\integral[/mm] sin(x) * sin (x) = - cos(x)
> * sin(x) + [mm]\integral cos^2(x)[/mm]
>
> Was mache ich hier falsch?
Nix, bis dahin alles korrekt.
Nun schreibe statt [mm] $\cos^2(x)$ [/mm] wieder [mm] $1-\sin^2(x)$
[/mm]
Dann [mm] $\int{1-\sin^2(x) \ dx}=\int{1 \ dx}-\int{\sin^2(x) \ dx}$
[/mm]
Dann die 1 integrieren, das Integral mit [mm] $\sin^2(x)$ [/mm] auf die andere Seite bringen und nach ihm auflösen ...
> Denn so komme ich dem Resultat
> nicht näher
>
> Danke, Gruss Kuriger
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 So 25.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo, leider klemmt es hier immer noch.
[mm] \integral sin^2(x) [/mm] = -cos(x) * sin(x) + [mm] \integral cos^2(x) [/mm] = -cos(x) * sin(x) + [mm] \integral [/mm] 1 - [mm] sin^2(x) [/mm] = -cos(x) * sin(x) + x - [mm] \integral sin^2(x)
[/mm]
Nun beige ich [mm] \integral sin^2(x) [/mm] auf die linke Seite
2 [mm] \integral sin^2(x) [/mm] = -cos(x) * sin(x) + x
[mm] \integral sin^2(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] *(-cos(x) * sin(x) + x)
Das stimmt ja überhaupt nicht
Danke für die Hilfe
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Hallo Kuriger,
wie kommst du zur Erkenntnis dass das Ergebnis nicht stimmt? Leite doch mal deine Stammfkt ab dann siehst du das alles korrekt integriert ist.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Hallo,
ergänzend:
dass beide Ergebnisse übereinstimmen und nur auf verschiedene Weisen aufgeschrieben sind, kannst du schnell einsehen, wenn du in deinem ersten Ergebnis:
[mm] $\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin(2x)$ [/mm] mal das Additionstheorem für den Sinus verwendest: [mm] $\sin(2x)=\sin(x+x)=\ldots$
[/mm]
Damit lässt es sich blitzschnell in die zweite Variante überführen.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 So 25.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Okay danke für die Antworten
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