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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:13 So 28.10.2007 | | Autor: | aliq |
| Aufgabe | | [mm]\integral{\bruch{x^3}{x^2-3}}[/mm] |
Abend,
nun ich sitze seit einiger zeit an diesem bsp. wir hätten es vorher auch die funktion diskutieren sollen und alles, was auch recht gut klappte. normalerweise ist das integrieren kein problem, aber diesmal stehe ich absolut auf der leitung. ich würde wirklich gerne einen ansatz bringen aber ich habe keine idee wie ich es lösen könnte. ich versuchte es einmal mit der partial-bruch zerlegung aber irgendwie kam ich da auch nciht weiter. wäre wirklich nett wenn mir jemand einen denkanstoss geben könnte.
danke schonmal,
alicia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich habe es mal mit Partialbruchzerlegung probiert und bin ganz gut mit zurechtgekommen (ich habe es nicht ind er Schule gemacht, sondern hab mir dir Durchführung nur mal auf Wikipedia angeschaut!).
[mm] \bruch{x³}{x²-3}=\bruch{A}{x-\wurzel{3}}+\bruch{B}{x+\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] x³=A(x+\wurzel{3})+B(x-\wurzel{3})
[/mm]
x=0 eingestezt:
[mm] 0=A*\wurzel{3}-B*\wurzel{3}
[/mm]
A=B
[mm] x³=A(x+\wurzel{3})+A(x-\wurzel{3})
[/mm]
[mm] =A(x+\wurzel{3}+x-\wurzel{3})
[/mm]
=2x*A
[mm] A=\bruch{1}{2}x²
[/mm]
[mm] B=\bruch{1}{2}x²
[/mm]
[mm] \bruch{x³}{x²-3}=\bruch{\bruch{1}{2}x²}{x-\wurzel{3}}+\bruch{\bruch{1}{2}x²}{x+\wurzel{3}}
[/mm]
Das sollte es sein!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 So 28.10.2007 | | Autor: | aliq |
hallo,
erstmal danke für deine schnelle antwort
bishin zu dem 2x*A=0 kann ich dir folgen, nacher irgendwie nicht mehr ganz, aber ich habe oben vergessen zusagen dass man es mit den grenzwerten 2 und 6 integrieren soll (wegen flächeninhalt) aber im nachinein geht es ja auch (halt mit einsetzten) und das tat ich jetzt auch aber das richtige ergebniss kommt auch so nicht heraus (sollte 5,245) sein.
ich weiss nicht wie auf das richtige ergebniss kommen könnte. naja aber jedenfalls danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
2x*A=x³ sollte es sein :) Und daher kommt dann das [mm] A=\bruch{1}{2}x².
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 So 28.10.2007 | | Autor: | aliq |
ok habe es vorher irgendwie übersehen, sorry 
jedenfalls wenn ich dass nun integrieren will, wie mach ich dass. weil irgendwi ist es genau das selbe wie am anfang (bzw. ich komm nicht weiter, irgendwie hab ich anscheinend immer den selben fehler bzw denke mich da selber in eine sackgasse) es tut mir leid, aber ich habe keine ahnung wie ich das rechnen könnte. irgendwie komm ich da überhaupt nicht weiter. gut jetzt habe ich A und B; normalerweise integriere ich den ganzen ausdruck, und kann mir nacher den flächeninhalt ausrechnen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:05 So 28.10.2007 | | Autor: | Rene |
Also nach meiner Rechnung kommt dort 21,245 raus!
Wenn du dir denn Graphen mal anschaust, dann siehst du schon, das der wert den du angegeben hast nicht stimmen kann!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 So 28.10.2007 | | Autor: | Rene |
Ich würd es mal mit ner Substitution versuchen!
also setze [mm] z=x^2-3[/mm]
umgestellt nach [mm]x^2[/mm]: [mm]x^2=z+3[/mm]
jetzt leitest du z nach x ab, d.h
[mm]
\frac{dz}{dx}=2x --> dx=\frac{dz}{2x}
[/mm]
Das Integral schreibst du dann als
[mm]
\integral{\frac{x*x^2}{x^2-3}dx}
[/mm]
ersetzen von [mm]x^2[/mm], [mm]dx[/mm] liefert dann
[mm]
\integral{\frac{x*(z+3)}{z}\frac{dz}{2x}}=
\frac{1}{2}\integral{\frac{(z+3)}{z}dz}=
\frac{1}{2}\integral{(1+\frac{3}{z})dz}
[/mm]
Ausführen der Integration liefert
[mm]
\frac{1}{2}\integral{(1+\frac{3}{z})dz}=
\frac{1}{2}(z+3*\ln(z)+C)
[/mm]
Rücksubstituieren
[mm]
\frac{1}{2}(x^2-3+3*\ln(x^2-3)+C)=
\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}\ln(x^2-3){\underbrace{-\frac{3}{2}+C}_{=\overline{C}}
[/mm]
Der Konstante Wert [mm]-\frac{3}{2}[/mm] kann mit der Integrationskonstanten C zusammengefasst werden.
Allgemein lautet die Lösung somit
[mm]
\integral{\frac{x^3}{x^2-3}dx}=\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}\ln(x^2-3)+\overline{C}
[/mm]
MFG
René
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 01:09 So 28.10.2007 | | Autor: | aliq |
Danke!
Habe es jetzt mit substitution durchgerechnet und ich komm auf das richtige ergebniss. danke nochmal - jetzt kann ich endlich schlafen gehen (hätte sonst versucht weiter herumzurechnen, irgendwie..)
wollte nur noch eines fragen: wieso genau darf man 3/2 mit c zusammenfassen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:13 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Das +C ist ja nur eine Konstante, die beim Ableiten eh wieder wegfallen würde. [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] sind offenbar auch eine Konstante.
Damit kannst du [mm] -\bruch{3}{2}+C [/mm] zu einer neuen Konstante, z.B. [mm] \overline{C}, [/mm] zusammenfassen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:17 So 28.10.2007 | | Autor: | aliq |
Ok! Danke für die erklärung, hab das nicht bedacht.
so danke für die lösung und rechenweg des bsps.
Eine gute nacht noch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 So 28.10.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
der Zählergrad ist höher als der Nennergrad, daher zunächst mit einer Polynomdivision versuchen die Aufgabe zu lösen
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:34 So 28.10.2007 | | Autor: | Rene |
Stimmt, das hab ich gar nicht gesehen. Der Weg ist natürlich wesentlich einfacher.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:36 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Aber es bleibt trotzdem [mm] x+\bruch{3x}{x^2-3} [/mm] stehen... hat man dadurch wirklich etwas gewonnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:47 So 28.10.2007 | | Autor: | Rene |
Naja, den zweiten Term löst du dann trotzdem mittels substitution, aber du brauchst dann das [mm]x^2[/mm] auf dem Bruch nicht durch einen Term mit [mm]z[/mm] ersetzen, wenn man das nicht sieht, gehts so auch! Beide Wege sind möglich. Mit der Polynomdivision kommst du bei solchen Termen meistens immer weiter ohne das man irgendwelche tricks anwenden muss.
Wie man es macht bleibt jedem selbst überlassen.
MFG
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Integrationsregeln