Integrieren Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Do 17.01.2013 | | Autor: | Peitho |
| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{\pi /2} [/mm] cos²(x)sin(x), dx
Berechnen Sie folgende Integrale mittels partieller Integration oder durch Substitution. |
Ich nehme erst mal an, dass cos²(x) =cos(x)² ist und es ein Druckfehler auf dem Aufgabenblatt ist.
Mein Lösungsweg:
U = cos(x)²
U'=-2sin(x)cos(x)
[mm] \bruch{dy}{dy} [/mm] = -2sin(x)cos(x)
=> dx = [mm] \bruch{1}{-2sin(x)cos(x)} [/mm]
[mm] \integral_{0}^{\pi /2} \bruch{U * sin(x)}{-2sin(x)cos(x)} [/mm] , dx
sin(x) kürzt sich weg =>
[mm] \bruch{U }{-2cos(x)}
[/mm]
Dann wird für das U wieder cos(x)² eingesetzt und gekürzt
=>
[mm] \integral_{0}^{\pi /2} \bruch{cos(x) }{-2} [/mm] ,dx
= 1/2
da cos [mm] (\pi [/mm] /2) = 0 und cos (0) = 1 steht am Ende - [mm] \bruch{1}{-2} [/mm] => 1/2
Kann man das so lösen?
Vielen Dank fürs lesen!
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße,
Peitho
|
|
| |
|
Hallo Peitho,
> [mm]\integral_{0}^{\pi /2}[/mm] cos²(x)sin(x), dx
>
> Berechnen Sie folgende Integrale mittels partieller
> Integration oder durch Substitution.
> Ich nehme erst mal an, dass cos²(x) =cos(x)² ist und es
> ein Druckfehler auf dem Aufgabenblatt ist.
Ja, das ist gemeint und eine ganz übliche Schreibweise ...
Also kein Druckfehler!
>
> Mein Lösungsweg:
> U = cos(x)²
> U'=-2sin(x)cos(x) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\bruch{dy}{dy}[/mm]
Du meinst [mm]\frac{dU}{dx}[/mm]
> = -2sin(x)cos(x)
> => dx = [mm]\bruch{1}{-2sin(x)cos(x)}[/mm] dU
Stimmt!
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi /2} \bruch{U * sin(x)}{-2sin(x)cos(x)}[/mm] , dx
Entweder substituiere die Grenzen mit oder rechne alles ohne Grenzen und resubstituiere am Ende, damit due die urspr. Grenzen benutzen kannst.
Und das Differential muss doch [mm]dU[/mm] sein.
>
> sin(x) kürzt sich weg =>
>
> [mm]\bruch{U }{-2cos(x)}[/mm]
>
> Dann wird für das U wieder cos(x)² eingesetzt und
> gekürzt
Nein, mit [mm]U=\cos^2(x)[/mm] ist doch [mm]\cos(x)=...[/mm]
Ersetze das entsprechend im Integral, dann ist es lediglich in der Variable U, dann ausintegrieren, resubstituieren (also U wieder durch einen Ausdruck in x ersetzen) und dann die "alten" Grenzen einsetzen ...
>
> =>
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi /2} \bruch{cos(x) }{-2}[/mm] ,dx
>
> = 1/2
>
>
> da cos [mm](\pi[/mm] /2) = 0 und cos (0) = 1 steht am Ende -
> [mm]\bruch{1}{-2}[/mm] => 1/2
>
> Kann man das so lösen?
Nein!
>
> Vielen Dank fürs lesen!
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Liebe Grüße,
>
> Peitho
>
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Do 17.01.2013 | | Autor: | Peitho |
Hallo schahuzipus!
danke erstmal für die schnelle Antwort!
> Hallo Peitho,
>
> > [mm]\integral_{0}^{\pi /2}[/mm] cos²(x)sin(x), dx
> >
> > Berechnen Sie folgende Integrale mittels partieller
> > Integration oder durch Substitution.
> > Ich nehme erst mal an, dass cos²(x) =cos(x)² ist und
> es
> > ein Druckfehler auf dem Aufgabenblatt ist.
>
> Ja, das ist gemeint und eine ganz übliche Schreibweise
> ...
>
> Also kein Druckfehler!
>
> >
> > Mein Lösungsweg:
> > U = cos(x)²
> > U'=-2sin(x)cos(x)
> >
> > [mm]\bruch{dy}{dy}[/mm]
>
> Du meinst [mm]\frac{dU}{dx}[/mm]
>
> > = -2sin(x)cos(x)
> > => dx = [mm]\bruch{1}{-2sin(x)cos(x)}[/mm] dU
>
> Stimmt!
>
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\pi /2} \bruch{U * sin(x)}{-2sin(x)cos(x)}[/mm] ,
> dx
>
> Entweder substituiere die Grenzen mit oder rechne alles
> ohne Grenzen und resubstituiere am Ende, damit due die
> urspr. Grenzen benutzen kannst.
>
Darf ich die Grenzen einfach so angeben:
[mm] \integral_{U(0)}^{U(\pi /2)}
[/mm]
> Und das Differential muss doch [mm]dU[/mm] sein.
Ja, ich muss mir schnell angewöhnen mich gleich genau auszudrücken. So wie ich es schreibe ist es falsch, ich hab es einfach übersehen.
>
>
> >
> > sin(x) kürzt sich weg =>
> >
> > [mm]\bruch{U }{-2cos(x)}[/mm]
> >
> > Dann wird für das U wieder cos(x)² eingesetzt und
> > gekürzt
>
> Nein, mit [mm]U=\cos^2(x)[/mm] ist doch [mm]\cos(x)=...[/mm]
>
> Ersetze das entsprechend im Integral, dann ist es lediglich
> in der Variable U, dann ausintegrieren, resubstituieren
> (also U wieder durch einen Ausdruck in x ersetzen) und dann
> die "alten" Grenzen einsetzen ...
Du meinst also :
[mm] \bruch{U }{-2cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{U }{-2 \wurzel{U}}
[/mm]
>
> >
> > =>
> >
> > [mm]\integral_{U(0)}^{U(\pi /2)} \bruch{cos(x) }{-2 \wurzel{3} }[/mm] ,dU
Ich verstehe leider nicht warum ich nicht einfach cos(x)² für U einsetzen kann.
> >
> > = 1/2
> >
> >
> > da cos [mm](\pi[/mm] /2) = 0 und cos (0) = 1 steht am Ende -
> > [mm]\bruch{1}{-2}[/mm] => 1/2
> >
> > Kann man das so lösen?
>
> Nein!
>
> >
> > Vielen Dank fürs lesen!
> >
> > PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Liebe Grüße,
> >
> > Peitho
> >
> >
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Grüße,
Peitho!
|
|
|
| |
|
Hallo, zu lösen ist
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^2(x)*sin(x) dx}
[/mm]
deine Substitution war [mm] u:=cos^2(x)
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=-2*cos(x)*sin(x)
[/mm]
[mm] dx=-\bruch{du}{2*cos(x)*sin(x)}
[/mm]
Lösungsweg (1):
wenn du für die obere Grenze [mm] cos^2(\bruch{\pi}{2})=0
[/mm]
und für die untere Grenze [mm] cos^2(0)=1
[/mm]
einsetzt, sparst du dir die Rücksubstitution
[mm] \integral_{1}^{0}{u*sin(x)*(-1)*\bruch{du}{2*cos(x)*sin(x)}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}\integral_{1}^{0}{u*\bruch{1}{\wurzel{u}}du}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}\integral_{1}^{0}{\wurzel{u}du}
[/mm]
Lösungsweg (2):
wenn du mit den "alten Grenzen" rechnen möchtest, so mache Rücksubstitution
[mm] =-\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\wurzel{u}du}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}*\bruch{2}{3}*u^{1.5}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}*\bruch{2}{3}*[cos^2(x)]^{1.5}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{3}*cos^3(x) [/mm] in den Grenzen 1 und 0
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Peitho |
Hallo Steffi21,
Danke für deine ausführliche Lösung, jetzt konnte ich auch nachvollziehen was ich falsch gemacht hatte.
Ich hab die Aufgabe auch mit U = cos gerechnet, hat sich als einfacher erwiesen. Aber ich sehe, es gibt viele Wege um zum Ergebnis zu kommen.
Grüße,
Peitho.
|
|
|
| |
|
Hallo Peitho!
Schneller (und m.E. auch leichter) geht es mit der Substitution: $u \ := [mm] \cos(x)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Do 17.01.2013 | | Autor: | Peitho |
Hallo Roadrunner,
du hast vollkommen Recht, so geht es viel einfacher. Und ich komme auf ein Ergebnis = 1.
dU = 1 / -sin(x)
Dann hab ich:
[mm] \bruch{
U² sin(x)}{-sin(x)} [/mm]
=> -U²
Und dann darf ich cos(x) und die alten Grenzen einsetzen also [mm] \pi [/mm] / 2 und 0 und komme auf 1.
Oder muss ich dann mit U Rechnen und einfach die Grenzen ausrechnen U( [mm] \pi [/mm] / 2) und U (0) ?
Liebe Grüße,
Peitho
|
|
|
| |
|
Hallo peitho,
> Hallo Roadrunner,
>
> du hast vollkommen Recht, so geht es viel einfacher. Und
> ich komme auf ein Ergebnis = 1.
>
> dU = 1 / -sin(x)
>
> Dann hab ich:
>
>
> [mm]\bruch{
U² sin(x)}{-sin(x)}[/mm]
>
> => -U²
>
> Und dann darf ich cos(x) und die alten Grenzen einsetzen
> also [mm]\pi[/mm] / 2 und 0 und komme auf 1.
>
Poste dazu Deine Rechenschritte.
> Oder muss ich dann mit U Rechnen und einfach die Grenzen
> ausrechnen U( [mm]\pi[/mm] / 2) und U (0) ?
>
Das ist vollkommen egal wie Du das bestimmte Integral auswertest.
> Liebe Grüße,
>
> Peitho
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Peitho |
Hallo MathePower,
erstmal entschuldige die verspätete Antwort.
> Hallo peitho,
>
> > Hallo Roadrunner,
> >
> > du hast vollkommen Recht, so geht es viel einfacher. Und
> > ich komme auf ein Ergebnis = 1.
> >
> > dU = 1 / -sin(x)
> >
> > Dann hab ich:
> >
> >
> > [mm]\bruch{
U² sin(x)}{-sin(x)}[/mm]
> >
> > => -U²
> >
> > Und dann darf ich cos(x) und die alten Grenzen einsetzen
> > also [mm]\pi[/mm] / 2 und 0 und komme auf 1.
> >
>
>
> Poste dazu Deine Rechenschritte.
[mm] \bruch{U^2*sin(x)}{-1*sin(x)} [/mm] = [mm] -U^2 [/mm] => Die -1 vor das Integral ziehen:
[mm] -1 \integral_{U(0)}^{U(\pi/2} U^2 [/mm] => aufleiten: [mm] \bruch{1}{3}U^3 [/mm] => Grenzen ausrechnen
U(0) = 1
[mm] U(\pi/2) [/mm] = 0
Einsetzen und wir erhalten: -1 * [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Also nicht ganz 1 ^^
>
>
> > Oder muss ich dann mit U Rechnen und einfach die Grenzen
> > ausrechnen U( [mm]\pi[/mm] / 2) und U (0) ?
> >
>
>
> Das ist vollkommen egal wie Du das bestimmte Integral
> auswertest.
>
>
> > Liebe Grüße,
> >
> > Peitho
>
>
> Gruss
> MathePower
Liebe Grüße, und vielen Dank allen fürs Helfen,
Peitho
|
|
|
|
