Integrierender Faktor < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Sa 24.10.2009 | | Autor: | DasDogma |
| Aufgabe | Gegeben sei die Differentialgleichung [mm] xy^2+y-xy'=0 [/mm]
a) Ist die DGL exakt?
b) Finden Sie einen integrierenden Faktor [mm] M=M(y) [/mm]
c) Wo ist die mit M multiplizierte DGL exakt?
d) Lösen Sie damit die DGL. |
Hallo,
ich habe diese Frage bisher in keinem anderen Forum gestellt.
Ich habe hier kein richtiges Problem, doch würde ich gern wissen ob ich diese Aufgabe korrekt gelöst habe, da ich noch ein paar Schwierigkeiten in dieser Thematik habe.
a) Ich habe soweit alles geprüft und die DGL ist logischer Weise nicht exakt.
b) Hier habe ich als integrierenden Faktor [mm] M(y)=\bruch{1}{y^2}, y\not=0[/mm]
c) Also sie ist wie o.g. bei [mm] y\not=0 [/mm] exakt. Auch beim Testen der Integrabilitätsbedingung kam eine wahre Aussage heraus.
d) Hier ist jetzt mein Problem. Am besten meinen Rechenweg:
[mm] (x+\bruch{1}{y})+(-\bruch{1}{y^2}x)y'=0
\integral_{}^{}{(x+\bruch{1}{y}) dx}=\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{y}x+c(y)=F(x,y)
F_{y}(x,y)=-\bruch{1}{y^2}x+c'(y)=-\bruch{1}{y^2}x
\Rightarrow c'(y)=0 \Rightarrow c(y)=C
\Rightarrow F(x,y)=\bruch{1}{2} x^2+\bruch{1}{y}x+C=0
\Rightarrow y(x)=\bruch{-1}{\bruch{1}{2}x+\bruch{C}{x}}=\bruch{-2x}{x^2+2C}
[/mm]
Ich hoffe, dass ihr die Richtigkeit meiner Rechnung bestätigen könnt.
Danke schon mal im Voraus.
MfG
Das Dogma
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei die Differentialgleichung [mm]xy^2+y-xy'=0[/mm]
> a) Ist die DGL exakt?
> b) Finden Sie einen integrierenden Faktor [mm]M=M(y)[/mm]
> c) Wo ist die mit M multiplizierte DGL exakt?
> d) Lösen Sie damit die DGL.
> Hallo,
>
> ich habe diese Frage bisher in keinem anderen Forum
> gestellt.
>
> Ich habe hier kein richtiges Problem, doch würde ich gern
> wissen ob ich diese Aufgabe korrekt gelöst habe, da ich
> noch ein paar Schwierigkeiten in dieser Thematik habe.
>
> a) Ich habe soweit alles geprüft und die DGL ist logischer
> Weise nicht exakt.
>
> b) Hier habe ich als integrierenden Faktor
> [mm]M(y)=\bruch{1}{y^2}, y\not=0[/mm]
>
> c) Also sie ist wie o.g. bei [mm]y\not=0[/mm] exakt. Auch beim
> Testen der Integrabilitätsbedingung kam eine wahre Aussage
> heraus.
>
> d) Hier ist jetzt mein Problem. Am besten meinen
> Rechenweg:
> [mm](x+\bruch{1}{y})+(-\bruch{1}{y^2}x)y'=0
\integral_{}^{}{(x+\bruch{1}{y}) dx}=\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{y}x+c(y)=F(x,y)
F_{y}(x,y)=-\bruch{1}{y^2}x+c'(y)=-\bruch{1}{y^2}x
\Rightarrow c'(y)=0 \Rightarrow c(y)=C
\Rightarrow F(x,y)=\bruch{1}{2} x^2+\bruch{1}{y}x+C=0
\Rightarrow y(x)=\bruch{-1}{\bruch{1}{2}x+\bruch{C}{x}}=\bruch{-2x}{x^2+2C}
[/mm]
>
> Ich hoffe, dass ihr die Richtigkeit meiner Rechnung
> bestätigen könnt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber das kannst du doch selbst: setze dein Lösung in die DGL ein und überprüfe, ob sie erfüllt ist.
Viele Grüße
Rainer
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