Integritätsbereich < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich will zeigen, dass [mm] \IZ[\wurzel{n}] [/mm] Integritätsbereich ist. Reicht es dafür, wenn ich sage, weil [mm] \IZ [/mm] ein Ring ist, ist auch [mm] \IZ[\wurzel{n}] [/mm] ein Ring und für die Kommutativität gilt das selbe?
Somit müsste ich nur noch zeigen, dass [mm] \IZ[\wurzel{n}] [/mm] nullteilerfrei ist. Geht das so?
|
|
| |
|
> Ich will zeigen, dass [mm]\IZ[\wurzel{n}][/mm] Integritätsbereich
> ist. Reicht es dafür, wenn ich sage, weil [mm]\IZ[/mm] ein Ring
> ist, ist auch [mm]\IZ[\wurzel{n}][/mm] ein Ring und für die
> Kommutativität gilt das selbe?
> Somit müsste ich nur noch zeigen, dass [mm]\IZ[\wurzel{n}][/mm]
> nullteilerfrei ist. Geht das so?
Hallo Nora,
ich denke, du solltest auch zeigen, dass [mm] \IZ[\wurzel{n}] [/mm] bezüglich
Addition und Multiplikation abgeschlossen ist und dass
die Eins von [mm] \IZ [/mm] in der neuen Form [mm] 1+0*\wurzel{n} [/mm] auch die Eins
von [mm] \IZ[\wurzel{n}] [/mm] ist.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Mo 12.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich will zeigen, dass [mm]\IZ[\wurzel{n}][/mm] Integritätsbereich
> ist. Reicht es dafür, wenn ich sage, weil [mm]\IZ[/mm] ein Ring
> ist, ist auch [mm]\IZ[\wurzel{n}][/mm] ein Ring und für die
> Kommutativität gilt das selbe?
> Somit müsste ich nur noch zeigen, dass [mm]\IZ[\wurzel{n}][/mm]
> nullteilerfrei ist. Geht das so?
Das haengt alles davon ab, was du an Voraussetzungen hast. Normalerweise definiert man fuer den Ring [mm] $\IZ$ [/mm] und das Element [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] aus dem Oberkoerper [mm] $\IC$ [/mm] das Objekt [mm] $\IZ[\sqrt{n}]$ [/mm] als den kleinsten Unterring von [mm] $\IC$, [/mm] der [mm] $\IZ$ [/mm] und [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] enthaelt. Damit ist es per Definition ein Ring.
Wenn du dagegen [mm] $\IZ[\sqrt{n}]$ [/mm] als [mm] $\{ a + b \sqrt{n} \mid a, b \in \IZ \}$ [/mm] definierst, musst du schon noch was zeigen, naemlich das es ein Unterring von [mm] $\IC$ [/mm] ist.
Zur Nullteilerfreiheit: wenn du einen Ring hast, der ein Unterring eines Koerpers ist (z.B. [mm] $\IC$), [/mm] dann ist dieser automatisch nullteilerfrei: andernfalls wuerde es im Koerper auch Nullteiler geben, und das geht nicht.
LG Felix
|
|
|
|
