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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Di 17.10.2006 | | Autor: | slash |
| Aufgabe | | Sei R ein Integritätsbereich. Zeigen Sie, dass wenn 2 [mm] \le [/mm] |R| < [mm] \infty [/mm] ist, R ein Körper ist. |
Hallo,
das Symbol |R| wurde noch nicht in der Vorlesung definiert. Schöner M ... - ich vermute, es bedeutet die Anzahl der Elemente in diesem nullteilerfreien Ring.
1.) Stimmt das?
2.) Wie kann ich die oben stehende Aussage beweisen?
Danke, slash
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Di 17.10.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallöchen!
Ja, deine Vermutung ist richtig. Ist $X$ eine Menge, so wird mit $|X|$ die Anzahl der Elemente von $X$ bezeichnet.
Nun zu der Aufgabe. Gegeben ist folgendes: $R$ ist ein Integritätsring, das heißt also ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit 1. Du hast zu zeigen, dass $R$ ein Körper ist. Das einzige, was dazu noch fehlt, ist die Invertierbarkeit von Elementen in $R$. Es muss also bewiesen werden, dass für alle [mm] $a\in [/mm] R$ ein [mm] $b\in [/mm] R$ mit [mm] $a\cdot [/mm] b = [mm] b\cdot [/mm] a = 1$ existiert. Dies kann umformuliert werden: für alle [mm] $a\in [/mm] R$ liegt $1$ im Bild der Abbildung [mm] $f_a:R\to [/mm] R, [mm] f_a(b):=a\cdot [/mm] b$.
Wenn wir beweisen könnten, dass [mm] $f_a$ [/mm] surjektiv ist, dann wären wir also fertig. Schaffst du es, die Surjektivität zu beweisen? Überlege dabei, in welchem Zusammenhang Injektivität, Surjektivität und Bijektivität für Abbildungen auf einer endlichen (!!) Menge stehen. Wenn dir dort etwas einfällt, dann solltest du über die Nullteilerfreiheit von $R$ gut eine zur Surjektivität äquivalente Eigenschaft von [mm] $f_a$ [/mm] nachweisen können.
Versuch's mal!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Di 17.10.2006 | | Autor: | slash |
| Aufgabe | | Ich versuch's mal. |
[mm] \varphi: [/mm] R --> ? := ab
1 muss [mm] \in [/mm] Bild [mm] \varphi [/mm] sein.
Surjektivität:
[mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] ab : [mm] \exists [/mm] mindestens ein x [mm] \in [/mm] R mit [mm] \varphi(x) [/mm] = y
Da |R| [mm] \ge [/mm] 2, existieren Null- und Einselement. (Können die nicht auch zusammenfallen?)
--> 1 [mm] \in [/mm] R
Sei a [mm] \not= [/mm] {0}.
Da R IB, a [mm] \not= [/mm] 0, b [mm] \not= [/mm] 0 --> ab [mm] \not= [/mm] 0
--> ker [mm] \varphi [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
--> 1 [mm] \in [/mm] Bild [mm] \varphi
[/mm]
--> [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] R: ab = 1
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Di 17.10.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Slash!
> Sei a $ [mm] \not= [/mm] $ {0}.
> Da R IB, a $ [mm] \not= [/mm] $ 0, b $ [mm] \not= [/mm] $ 0 --> ab $ [mm] \not= [/mm] $ 0
--> ker $ [mm] \varphi [/mm] $ = $ [mm] \emptyset [/mm] $
Der Begriff des Kernes macht in diesem Zusammenhang keinen Sinn, oder lässt sich wenigstens nicht so verwenden wie üblich, da [mm] $f_a$ [/mm] i.A. kein Ringhomomorphismus ist.
Falls du mit dem Kern einer beliebigen Abbildung zwischen Ringen $X,Y$ die Menge der Elemente von $X$ bezeichnest, die auf das Nullelement in $Y$ abgebildet werden, so müsste hier allerdings [mm] $ker(\varphi)=\{0\}$ [/mm] und nicht [mm] $ker(\varphi)=\emptyset$ [/mm] stehen.
--> 1 $ [mm] \in [/mm] $ Bild $ [mm] \varphi [/mm] $
--> $ [mm] \exists [/mm] $ b $ [mm] \in [/mm] $ R: ab = 1
Diese beiden Schlüsse sind nicht richtig und kommen daher, dass du hier [mm] $f_a$ [/mm] wie einen Ringhomomorphismus behandelt hast (was er aber [s.o.]) nicht ist.
Bleiben wir bei dem Tip, den ich dir in der ersten Antwort gab: was weißt du über den Zusammenhang zwischen Injektivität, Surjektivität, Bijektivität von Abbildungen auf einer endlichen Menge? Suche mal im Internet danach.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Di 17.10.2006 | | Autor: | slash |
Ich kenne folgende Zusammenhänge, sehe aber nicht, wie sie mir helfen könnten. Wahrscheinlich denke ich wieder mal viel zu kompliziert.
Surjektivität:
Jedes Element der Zielmenge hat mindestens ein Urbild.
Injektivität:
Jedes Element der Zielmenge hat maximal ein Urbild.
Bijektivität:
Jedes Element der Zielmenge hat genau ein Urbild.
Ich denke über Deinen Tipp schon seit Deiner Antwort nach ... ich check's leider nicht.
Danke, slash
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:36 Mi 18.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo slash!
> Ich kenne folgende Zusammenhänge, sehe aber nicht, wie sie
> mir helfen könnten. Wahrscheinlich denke ich wieder mal
> viel zu kompliziert.
>
> Surjektivität:
> Jedes Element der Zielmenge hat mindestens ein Urbild.
>
> Injektivität:
> Jedes Element der Zielmenge hat maximal ein Urbild.
>
> Bijektivität:
> Jedes Element der Zielmenge hat genau ein Urbild.
>
>
> Ich denke über Deinen Tipp schon seit Deiner Antwort nach
> ... ich check's leider nicht.
Versuch doch mal ein Beispiel fuer eine eine Abbildung von einer endlichen Menge in sich selbst zu finden, die injektiv, aber nicht surjektiv ist. Oder eine, die surjektiv, aber nicht injektiv ist. Versuch es mal konkret mit einer 3-elementigen Menge. Faellt dir was auf?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Mi 18.10.2006 | | Autor: | slash |
Hallo,
nach Deinem Tipp: R = {x, y, z}
[mm] \varphi: [/mm] R --> R: [mm] \varphi(a)= [/mm] x ... surjektiv, aber nicht injektiv.
Bei einer injektiven Abb. müsste, um sie von der der Surjektivität abzuheben, Folgendes gelten:
Für alle y der Bildmenge existiert KEIN Urbild in der Urmenge, oder? Daher habe ich für meinen oben stehenden Ring kein Bsp. gefunden. Ich sehe auch nicht, wie mir diese Tipps helfen sollen.
Zur Erklärung.
Ich bin ein Lehramtsstudent im V. Semester, komme bei Schülern, Eltern und Kollgen gleichermaßen gut an und muss nun eine Algebra-Vorlesung zusammen mit Diplomern (!) belegen. Was soviel heißt wie: Ich verstehe kaum etwas, weil der Professor natürlich seine Diplomers fordern und fördern will.
Mir fehlt auch dieses tiefgehende mathematische Verständnis, dass Ihr offensichtlich habt.
Ich wäre Euch sehr dankbar, wenn Ihr mir bei dieser Aufgabe exemplarisch zeigen könntet, was Eure Gedankengänge waren und wie Euer sich daraus ergebender Schluss lautet.
Vielen Dank im Voraus und bis hierher,
slash.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Mi 18.10.2006 | | Autor: | statler |
Hey!
> nach Deinem Tipp: R = {x, y, z}
>
> [mm]\varphi:[/mm] R --> R: [mm]\varphi(a)=[/mm] x ... surjektiv, aber nicht
> injektiv.
Schreib dir die Menge R 2mal hin
{x, y, z}
{x, y, z}
und verdeutliche dir die Abb. [mm] \phi [/mm] durch Pfeile, die beim Argument anfangen und beim Bild aufhören. Für jede Abb. fängt bei jedem Element ein Pfeil an. Wenn [mm] \phi [/mm] surjektiv sein soll, muß auch bei jedem Element (mind.) ein Pfeil aufhören. Wenn sie außerdem nicht injektiv sein soll, müssen bei einem Element 2 (oder mehr) Pfeile aufhören. Versuch das mal hinzukriegen!
> Bei einer injektiven Abb. müsste, um sie von der der
> Surjektivität abzuheben, Folgendes gelten:
> Für alle y der Bildmenge existiert KEIN Urbild in der
> Urmenge, oder?
Nein, die Verneinung von 'für alle...' ist 'es gibt kein...'
> Daher habe ich für meinen oben stehenden
> Ring kein Bsp. gefunden. Ich sehe auch nicht, wie mir diese
> Tipps helfen sollen.
>
> Zur Erklärung.
> Ich bin ein Lehramtsstudent im V. Semester, komme bei
> Schülern, Eltern und Kollgen gleichermaßen gut an und muss
> nun eine Algebra-Vorlesung zusammen mit Diplomern (!)
> belegen. Was soviel heißt wie: Ich verstehe kaum etwas,
> weil der Professor natürlich seine Diplomers fordern und
> fördern will.
> Mir fehlt auch dieses tiefgehende mathematische
> Verständnis, dass Ihr offensichtlich habt.
> Ich wäre Euch sehr dankbar, wenn Ihr mir bei dieser
> Aufgabe exemplarisch zeigen könntet, was Eure Gedankengänge
> waren und wie Euer sich daraus ergebender Schluss lautet.
Für dein Leiden habe ich in angemessenem Umfang Verständnis!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:38 Mi 18.10.2006 | | Autor: | slash |
| Aufgabe | | Ich probier's mal. |
Zu zeigen:
Invertierbarkeit von Elementen in (R, *)
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] R [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] R: ab = ba = 1
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] R muss 1 [mm] \in \varphi: [/mm] R --> R := ab
R ist IB.
[mm] \Rightarrow \forall a\not=0, b\not=0 [/mm] : [mm] ab\not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow \varphi [/mm] ist surjektiv, da nun zu jedem ab mindestens ein Urbild (a, b) existiert.
Sei 1 [mm] \in [/mm] ab.
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] a [mm] \exists [/mm] b : ab = 1, b = a^-1
Nicht hauen.
Stimmt's ungefähr?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 20.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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