Interpolation < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:32 Mi 26.12.2007 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Die Funktion sin(x) soll auf dem Intervall [mm] [0;\bruch{\pi}{2}] [/mm] so tabelliert werden, dass bei stückweiser lin. Interpolation zwischen den Stützstellen, der Interpolationsfehler höchstens [mm] 0,5*10^{-m} [/mm] beträgt.
a)Wie viele Stützstellen sind notwendig, wenn die Stützwerte exakt sind?
b) Die Werte haben einen Fehler von max. [mm] 0,5*10^{-k}. [/mm] Wie viele Stützstellen braucht man dann? |
Hi,
also ich habe mich schon einige Zeit an der Aufgabe probiert. Ich weiss nicht, ob es einen allg. Weg gibt, so das man die Anzahl der Stützstellen in Abhängigkeit von m angeben kann. Ich habe es einfach mal an einem Beispiel berechnet.
Angenommen ich habe zwei Stützstellen. Eine bei x=0 die andere bei [mm] x=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Ich berechne die Gerade durch die zwei Punkte. [mm] y=\bruch{2}{\pi}*x
[/mm]
Nun schaue ich wo die Ableitung parallel zur Geraden ist denn dort ist der Abstand zwischen Funktion und Interpolation am größten. Danach berechne ich den Abstand und sehe, das der Abstand dann 0,21 beträgt, bei x=0,88. Alles gerundete Werte übrigens. Also ist bei n=2 Stützstellen für m=0 die Bedingung erfüllt. Nun dachte ich, das es also immer so ist, also wenn m=1 wäre, ich vielleicht drei Stützstellen brauche. Ich habe das auch anhand des konkreten Beispiels berechnet. Ich habe also drei Stützstellen genommen, äquidistant übrigens. Habe diesmal die Gerade durch die ersten beiden Stellen berechnet und wieder geschaut, wo der Abstand zwischen Ableitung vom Sinus und der Geraden am größten ist. Dann den Abstand berechnet. Dieser beträgt max. 0,03, also Bedingung wieder erfüllt. Dann habe ich das gleiche für die Stützstellen 2 und drei gemacht. Hier ist die Bedingung allerdings nicht erfüllt, da der Abstand max. 0,07 beträgt, was aber auch an Rundungsfehlern liegen kann, das weiß ich nicht genau. Also kann die Vermutung vom Anfang nicht stimmen. Nun könnte ich ja sagen, wenn also bei z.B. m=1 ist, drei Stützstellen nicht reichen, da ich es ja berechnet habe und sage, gut ich brauche vier. Dann passt der Abstand mit Sicherheit ohne es zu überprüfen und ich hätte die Frage in der Aufgabe richtig beantwortet. Nur funktioniert das auch noch für höhere m Werte?
Nun, wie mache ich das? Ist meine Rechnung korrekt und würde die Behauptung also die Antwort so stimmen, oder kann man es allgemein über eine Abschätzung zeigen, was ich noch nicht probiert habe weil ich noch nicht weiß mit wie ich das machen kann?
Ich hätte eine Idee zur Abschätzung und zwar folgende:
[mm] |f(x)-\Phi(x)|\le \bruch{|w(x)|}{(n+1)!}*|f(x)^{(n+1)}(\psi)|
[/mm]
Dies gilt für alle x aus dem Intervall.
[mm] w(x)=(x-x_{0})*(x-x_{1})*...*(x-x_{n})
[/mm]
Ich hoffe, das mir jemand weiterhelfen kann.
Gruß,
clwoe
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Mi 26.12.2007 | | Autor: | clwoe |
Kann mir hier denn niemand helfen?
Es sollte doch möglich sein zumindest eine Reaktion zu bekommen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 28.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
