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| Aufgabe | | 1) Es soll eine Tafel für f(x)=sinx erstellt werden, so dass der Interpolationsfehler bei linearer Interpolation nicht den maximalen Rundungsfehler [mm] \varepsilon\le0,5*10^{-6} [/mm] bei den Funktionswerten von sinx überschreitet. Wie muss dann die Schrittweite h der Tafel gewählt werden? |
Hallo,
ich habe für diese Aufgabe auch einen Lösungsweg, aber ich verstehe ihn überhaupt nicht:
[mm] |f(x)-s(x)|\le [/mm] max [mm] |f''(\mu)|*(h^{2}/8) [/mm] mit [mm] \mu \in (x_{0},x_{0}+h)
[/mm]
Ok, also, das linke ist wohl der Interpolationsfehler, der soll kleiner gleich sein dem maximalen Rundungsfehler, das ist der, der daneben steht. Aber wo kommt dieses [mm] (h^{2}/8) [/mm] her? Das ergibt für mich überhaupt keinen Sinn.
Dann geht es weiter:
[mm] \le1*(1/2)*h^{2}\le0,5*10^{-6}
[/mm]
[mm] \gdw h^{2}\le 4*10^{-6} \gdw h\le \wurzel{4}*\wurzel{10^{-6}} [/mm] = [mm] 2*10^{-3}=0,002
[/mm]
Also, da verstehe ich nicht sehr viel....
Kann mir jemand helfen?
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Mo 22.09.2008 | | Autor: | leduart |
hallo
schreib mal das Taylorpolynom fuer sin hin. der lineare Term ist der, den du beim Interpolieren benutzt, der Rest ist der Fehler
Gruss leduart
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Hallo,
also, irgendwie hatten wir die Taylor-Formel gar nicht, und wenn ich mir die so anschaue, verstehe ich die gar nicht. Kommt das [mm] (h^{2}/8) [/mm] von der Taylor-Formel? Und der Betrag von der zweiten Ableitung? Aber wieso denn? Was hat das mit meiner Aufgabe zu tun?
Und wie kommt man dann unten bei der Rechnung auf die [mm] 1*(1/2)*h^{2} [/mm] und wie kommt man dann von da zur nächsten Zeile? Was für Umformungen wurden dabei vorgenommen?? Ich sehe das überhaupt nicht.
Vielleicht kann mir das jemand noch mal etwas genauer erklären??
Wäre super..
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Di 23.09.2008 | | Autor: | GGerst |
siehe meine vorläufige Mittellung von 13:31
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Di 23.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
schau mal ![[]](/images/popup.gif) in diesem SkriptEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
in Satz 4.9, Deine Formel (in der von mir korrigierten Fassung $(\star)$, siehe unten) ergibt sich dann für den Spezialfall $\black{n}=1$, weil $x \mapsto \sin(x)$ ja sogar auf $\IR$ schon $\black{2}=1+1$-mal stetig differenzierbar ist (Warum?).)
(Eigentlich ist $x \mapsto \sin(x)$ auf $\IR$ sogar unendlich oft stetig diff'bar.)
Dabei entspricht Dein $\black{s}(x)$ dem $\black{P}(x)$ im Skript, und speziell ist hier $\black{f}(x)=\sin(x)$.
Du hast nun (und da ist Euch wohl ein Fehler unterlaufen, entweder dem-/derjenigen an der Tafel oder Dir beim Abschreiben):
$(\star)$ $ |f(x)-s(x)|\le \text{max} |f''(\mu)|\cdot{}(h^{2}/\red{2}) $ mit $ \mu \in (x_{0},x_{0}+h) $
> Ok, also, das linke ist wohl der Interpolationsfehler, der soll
> kleiner gleich
> sein dem maximalen Rundungsfehler, das ist der, der daneben steht.
> Aber wo kommt dieses $ (h^{2}/8) $ her?
Na, schau' nochmal genau hin. $\black{h}$ ist die Schrittweite, und in $(\star)$ steht eine Formel, die für alle $x \in (x_0,x_0+h)$ gilt. Wenn Du nun bei $(\star)$ erzwingst, dass schon die rechte Seite, also:
$\text{max} |f''(\mu)|\cdot{}(h^{2}/2) \le \varepsilon = \frac{1}{2}*10^{-6}$ (ich schätze mal, Du wolltest $\varepsilon \;\blue{=}\;0,5\cdot{}10^{-6}$ schreiben, aber das ist nicht sooo wichtig...) ist, so hast Du die Aufgabe gelöst.
(Wobei die Aufgabe etwas schlecht formuliert ist: "Wie muss dann die Schrittweite gewählt werden..." sollte man lesen als: "Wie kann dann die Schrittweite gewählt werden..." oder "Welche Schrittweite wäre hinreichend, so dass...")
Das heißt, es wäre jetzt hinreichend, wenn man :
$\|f^{(n+1)}\|_\infty *\frac{h^{n+1}}{(n+1)!}=\text{max} |f''(\mu)|*\frac{h^{1+1}}{(1+1)!} \le \frac{1}{2}*10^{-6}$ hätte.
Dabei ist $f''(\mu)=-\sin(\mu)$ und damit insbesondere $\text{max}|f''(\mu)|=\text{max}\limits_{\mu \in [x_0,x_0+h]}|f''(\mu)|} \le 1$, also es gilt:
$\text{max} |f''(\mu)|*\frac{h^{1+1}}{(1+1)!} \le \frac{h^2}{2}$
Also, wir wissen bisher für alle $x \in (x_0,x_0+h)$:
$$|f(x)-s(x)|=|\sin(x)-s(x)| \le \text{max} |f''(\mu)|\cdot{}(h^{2}/\red{2}) \underbrace{\le}_{\text{wegen }|f''(t)|=|-\sin(t)| \le 1 \text{ für alle } t \in [x_0,x_0+h]} 1*\frac{h^2}{2}=\frac{h^2}{2}\,,$$
also insbesondere
$$(\star_2)\;\;\;\;|f(x)-s(x)| \le \frac{h^2}{2}\,\text{ für alle }x \in (x_0,x_0+h)\,.$$
Wenn man nun zudem $\frac{h^2}{2} \le \frac{1}{2}*10^{-6}$ hat, so liefert uns $(\star_2)$ dann, dass auch $|f(x)-s(x)| \le \frac{1}{2}*10^{-6}$ für alle $x \in (x_0,x_0+h)$.
Hinreichend kleine Werte für $\black{h}$ erhält man dann aus der Ungleichung:
$\frac{h^2}{2} \le \frac{1}{2}*10^{-6}$
(Bemerkung zu Deinem ersten Fragepost:
Und hier taucht wieder ein Fehler in der "vorgeführten Lösung" auf, die Du uns mitteiltest:
An der Tafel(?) wurde zunächst richtig geschrieben:
> $\le1\cdot{}(1/2)\cdot{}h^{2}\le0,5\cdot{}10^{-6}$,
danach wird aber wieder anstelle der Ungleichung $1\cdot{}(1/2)\cdot{}h^{2}\le0,5\cdot{}10^{-6}$ weitergerechnet, als wenn doch $1\cdot{}(1/8)\cdot{}h^{2}\le0,5\cdot{}10^{-6}$ da stünde, denn es gilt nicht $1\cdot{}(1/2)\cdot{}h^{2}\le0,5\cdot{}10^{-6} \gdw h^{2}\le 4\cdot{}10^{-6}$, sondern $1\cdot{}(1/8)\cdot{}h^{2}\le0,5\cdot{}10^{-6} \gdw h^{2}\le 4\cdot{}10^{-6}$. Wir machen das jetzt richtig weiter...)
Die Ungleichung $(\star_2)$ zeigt uns nun, dass es hinreichend zur Lösung der Aufgabe ist, $h \black{>} 0$ so zu wählen, dass $\frac{h^2}{2} \le \frac{1}{2}*10^{-6}$ ist.
Nun gilt für $h > 0$:
$$h^2/2 \le 0,5*10^{-6} \gdw h^2 \le 10^{-6} \gdw h \le 10^{-3}=0,001\,.$$
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Di 23.09.2008 | | Autor: | GGerst |
Ich sehe grad deine Frage, habe aber Eile und kann nur kurz antworten. Vielleichts hilft's ein wenig:
Das Intervall h (siehe [mm] x_{0} [/mm] , [mm] x_{0}+h) [/mm] ist offenbar die gesuchte Schrittweite der zu erstellenden Tafel f(x)=sinx
Wenn ich eine nicht-lineare Funktion wie den Sinus linear interpoliere, bleibt als hauptsächl.Fehler der Einfluss der 2.Potenz (bei quadratischer Interpolation jener der 3.Potenz usw.) --> daher muss h² in der Lörung stecken. Das Ergebnis muss auch vom Startwert [mm] x_{0} [/mm] abhängen, weil die Sinusfunktion bei x >> 0 immer flacher wird.
Vorläufig LG - vielleicht antwortet ja heute noch jemand gründlicher.
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