Interpolationspolynom < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mo 27.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
ein Interpolationspolynom sei gegeben durch Zahlenpaare [mm] $(x_{0}, y_{0}), (x_{1}, y_{1}), [/mm] ..., [mm] (x_{n}, y_{n})$, [/mm] wobei [mm] $x_{j} \not= x_{k}$ [/mm] für $j [mm] \not= [/mm] k$.
Gesucht ist nun also ein Polynom der Form [mm] $p_{n}(x)= \summe_{j=0}^{n} a_{j} x^{j}$.
[/mm]
Ich möchte gerne beweisen, daß es höchstens ein Interpolationspolynom gibt.
Ich nehme mir also zwei Polynome [mm] $p_{1}, p_{2}$. [/mm] Dann ist auch [mm] $p=p_{1} [/mm] - [mm] p_{2}$ [/mm] ein Polynom und [mm] $p(x_{j}) [/mm] = [mm] p_{1}(x_{j}) [/mm] - [mm] p_{2}(x_{j})=0$ [/mm] für $j=0,1,...,n$, d.h. $p$ hat $n+1$ Nullstellen. Das bedeutet, daß $p=0$ und somit [mm] $p_{1} [/mm] = [mm] p_{2}$.
[/mm]
Den Part, daß $p$ identisch verschwindet, wenn $p$ $n+1$ Nullstellen hat, verstehe ich. Der Rest fällt mir noch schwer und ich würde mich freuen, wenn es mir jemand erklären könnte.
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Regine!
Achtung, ich wähle die Bezeichnungen etwas anders.
Gegeben sind also $n+1$ reelle Zahlenpaare [mm] $(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$, $\ldots$, $(x_n,y_n)$.
[/mm]
Gesucht ist ein Polynom [mm] $p_n(x)=\sum\limits_{j=1}^n a_j x^j$, [/mm] dessen Graph genau durch diese $n+1$ Punkte verläuft, für das also folgendes gilt:
[mm] $p_n(x_i)=y_i$ [/mm] für [mm] $i=0,1,\ldots,n$.
[/mm]
Wir wollen nun zeigen, dass dieses Polynom durch die $n+1$ Stützstellen eindeutig bestimmt ist.
Sprich: Gibt es ein weiteres Polynom [mm] $q_n$ [/mm] $n$-ten Grades, dessen Graph ebenfalls durch die gegebenen $n+1$ Punkte verläuft, für das also:
[mm] $q_n(x_i)=y_i$ [/mm] für [mm] $i=0,1,\ldots,n$,
[/mm]
gilt, dann -so wollen wir zeigen- muss notwendigerweise [mm] $q_n=p_n$ [/mm] gelten.
Zu diesem Zweck bilden wir [mm] $p:=p_n-q_n$ [/mm] und wollen zeigen: $p=0$.
Offenbar ist [mm] $p=p_n-q_n$ [/mm] ein Polynom $n$ten Grades mit
[mm] $p(x_i) [/mm] = [mm] p_n(x_i) [/mm] - [mm] q_n(x_i) =y_i [/mm] - [mm] y_i [/mm] = 0$ für [mm] $i=0,1,\ldots,n$.
[/mm]
Da aber ein von $0$ verschiedenes reelles Polynom $n$-ten Grades höchstens $n$ reelle Nullstellen besitzen kann, folgt notwendigerweise:
$p(x) = 0$,
also:
[mm] $p_n(x) [/mm] = [mm] q_n(x)$,
[/mm]
wie behauptet.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mo 27.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
ja, so verstehe ich es! Herzlichen Dank!
Und wie beweise ich die Existenz eines Interpolationspolynoms?
Danke und viele liebe Grüße,
Regine.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mo 27.09.2004 | | Autor: | regine |
Ok, das ist natürlich auch eine Möglichkeit. 
Ich habe ein Polynom $p$.
Dieses Polynom interpoliere die Daten [mm] $(x_{1}, [/mm] 0), ..., [mm] (x_{n}, [/mm] 0)$, sprich [mm] $p(x_{j})=0$ [/mm] für $j=1,2,...,n$.
Das Polynom hat dann die Form $p(x) = c [mm] \prod_{j=1}^{n} [/mm] (x - [mm] x_j)$, [/mm] wobei $c$ eine Konstante ist.
Kann mir jemand erklären, warum das so ist?
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Mo 27.09.2004 | | Autor: | choosy |
Naja du hast n Nullstellen, des polynoms, gegeben, also kannst du das polynom einfach in seinen linearfaktoren hinschreiben, genau wie dus gemacht hast. Denn wenn du nun eine Nullstelle in das Polynom einsetzt, wird der zugehoerige Linearfaktor, und somit das gesammte produkt null.
es ist also klar, das jede nullstelle somit auch nullstelle dieses polynoms ist.
wenn man weiter hin noch weis, das ein interpolationspolynom durch n punkte vom grad n-1 EINDEUTIG bestimmt ist, ist klar das das polynom so aussehen muss.
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