Interpolationsproblem Lagrange < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich brauche unbedingt eure hilfe. Und zwar geht es um die Interpolation nach Lagrange. Wenn ich drei Stützstellen habe und z.B. [mm] L_1 [/mm] berechnen soll, lautet die Formel: [mm] $L_1(x)=\bruch{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}$
[/mm]
Was passiert aber, wenn ich vier Stützstellen habe? Wie ändert sich die Formel, wenn [mm] x_3 [/mm] dazukommt?
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Hallo DominicVandrey!
Zuerst: bitte stelle deine Frage nur einmal! Auch wenn ein Fehler drin ist - auf diesen kannst du mit einer Mitteilung direkt dahinter aufmerksam machen...
> Ich brauche unbedingt eure hilfe. Und zwar geht es um die
> Interpolation nach Lagrange. Wenn ich drei Stützstellen
> habe und z.B. [mm]L_1[/mm] berechnen soll, lautet die Formel:
> [mm]L_1(x)=\bruch{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}[/mm]
> Was passiert aber, wenn ich vier Stützstellen habe? Wie
> ändert sich die Formel, wenn [mm]x_3[/mm] dazukommt?
Laut ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia gilt ja: [mm] L_i=\produkt_{j=0, j\not= i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}
[/mm]
Wenn ein [mm] x_3 [/mm] hinzu kommt, hast du dann dort stehen:
[mm] L_1=\frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}
[/mm]
Wenn du die Formel kennst, dürfte das doch eigentlich kein Problem sein? Wie wäre es denn dann, wenn noch ein [mm] x_4 [/mm] hinzu kommt?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Das müsste dann eigentlich [mm] L_1=\bruch{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)x-x_4)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x-x_3)(x-x_4)} [/mm] sein. Sorry wegen doppelter Email.
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Hallo Dominic!
Fast ... Du unterschlägst hier noch einige Indizes im Nenner:
[mm] $$L_1(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(x-x_0)*(x-x_2)*(x-x_3)*(x-x_4)}{(x_1-x_0)*(x_1-x_2)*(x_{\red{1}}-x_3)*(x_{\red{1}}-x_4)}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Ja stimmt hatte ich vergessen. Okay Also für [mm] L_1 [/mm] war das dann relativ einfach. Aber wie sieht das dann mit [mm] L_0; L_2; L_3 [/mm] aus?
Ich mache mal einen Versuch für 4 Stützpunkte.
[mm] L_0=\bruch{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}
[/mm]
[mm] L_2=\bruch{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}
[/mm]
[mm] L_3=\bruch{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_2}
[/mm]
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Halt. Braucht die frage nicht beantworten. Habe selber gemerkt, dass das falsch ist. trotzdem Danke
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Also da ich den Dreh nun Heraus habe, habe ich die ersten Aufgaben bearbeitet. Bei einer Aufgabe habe ich die 4 Stützpunkte [mm] (0/0);(\bruch{\pi}{6}/0,5);(\bruch{\pi}{2}/1);(\pi/0) [/mm] und soll [mm] L_1 [/mm] berechnen. Also bekomme ich heraus:
[mm] L_1(x)=\bruch{x(x-\pi)(x-\bruch{\pi}{6})}{\bruch{\pi}{2}(-\bruch{\pi}{2})(\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{6})}
[/mm]
Als Ergebnis bekomme ich heraus:
[mm] L_1(x)=\bruch{x^3-\bruch{\pi}{6}x^2-\pi x^2+\bruch{\pi^2}{6}}{-\bruch{\pi^3}{8}+\bruch{\pi^3}{24}}
[/mm]
Stimmt ihr mir mit dem Ergebnis überein?
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Hallo Dominic!
Ich komme auf folgendes L1:
L1=(x*(x-pi/2)*(x-pi))/((pi/6)*(-pi/3)*(-5*pi/6))=
[mm] =108/(5*pi^3)*x^3-162/(5*pi^2)*x^2+54/(5*pi)*x.
[/mm]
Hoffe,daß ich helfen konnte.
Grüße Martha.
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Okay. Also wenn diese Herleitungen für die 4 Stützstellen richtig sind, dann bekomme ich das selbe Ergebnis.
[mm] L_0(x)=\bruch{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}
[/mm]
[mm] L_1(x)=\bruch{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}
[/mm]
[mm] L_2(x)=\bruch{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}
[/mm]
[mm] L_3(x)=\bruch{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}
[/mm]
Bzw. wenn die Herleitung für [mm] L_1(x) [/mm] richtig ist. Aber den Rest könnte man ja auch gleich mal prüfen 
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> Okay. Also wenn diese Herleitungen für die 4 Stützstellen
> richtig sind, dann bekomme ich das selbe Ergebnis.
>
> [mm]L_0(x)=\bruch{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}[/mm]
>
> [mm]L_1(x)=\bruch{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}[/mm]
>
> [mm]L_2(x)=\bruch{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}[/mm]
>
> [mm]L_3(x)=\bruch{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}[/mm]
>
> Bzw. wenn die Herleitung für [mm]L_1(x)[/mm] richtig ist. Aber den
> Rest könnte man ja auch gleich mal prüfen
Hallo,
eine Herleitung sehe ich hier nirgends, aber falls das die Frage war:
ja, das, was Du schreibst sind die vier Lagrange-Polynome zu den vier Stützstellen [mm] x_0,..., x_3.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Okay. Dankeschön.
Im Lehrbuch steht eine Aufgabe geschrieben, bei der die 4 Stützpunkte [mm] (0/0);(\bruch{\pi}{6}/0,5);(\bruch{\pi}{2}/1;(\pi/0) [/mm] gegebn sind.
[mm] L_0(x) [/mm] brauche ich in diesem Fall wohl nicht zu berechnen und für [mm] L_1 [/mm] erhalte ich (Ich lasse den Rechenweg mal weg) [mm] \bruch
[/mm]
[mm] \bruch{108}{5}*\bruch{x^3}{\pi^3}-\bruch{162}{5}*\bruch{x^2}{\pi^2}+\bruch{54}{5}*\bruch{x}{\pi}.
[/mm]
[mm] L_2 [/mm] brauche ich in diesem Fall wohl ebenfalls nicht berechnen und für [mm] L_3 [/mm] erhalte ich (Ich lasse den Rechenweg auch hier mal weg)
[mm] \bruch{12}{5}*\bruch{x^3}{\pi^3}-\bruch{24}{15}*\bruch{x^2}{\pi^2}+\bruch{12}{60}*\bruch{x}{\pi}.
[/mm]
Für die Lösungen im Lehrbuch stehen allerdings [mm] L_1 [/mm] die Lösung
[mm] \bruch{12}{\pi^3}x^3+\bruch{14}{\pi^2}x^2-\bruch{2}{\pi}x
[/mm]
und für [mm] L_3 [/mm] die Lösung
[mm] \bruch{108}{5}*\bruch{x^3}{\pi^3}-\bruch{162}{5}*\bruch{x^2}{\pi^2}+\bruch{54}{5}*\bruch{x}{\pi}.
[/mm]
Welches Ergebnis ist jetzt richtig. Ich meine ich habe gelernt, dass auch Lehrbücher mal Fehler machen und bin mir eigentlich ziemlich sicher, dass Meine Ergebnisse richtig sind, da ich sie ständig mit den Lagrange Polynomen überprüft habe.
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> Im Lehrbuch steht eine Aufgabe geschrieben, bei der die 4
> Stützpunkte
> [mm](0/0);(\bruch{\pi}{6}/0,5);(\bruch{\pi}{2}/1;(\pi/0)[/mm] gegebn
> sind.
> [mm]L_0(x)[/mm] brauche ich in diesem Fall wohl nicht zu berechnen [...]
>
> [mm]L_2[/mm] brauche ich in diesem Fall wohl ebenfalls nicht
> berechnen
Hallo,
bevor ich irgendetwas nachrechne: warum mußt Du [mm] L_2 [/mm] nicht berechnen?
> Welches Ergebnis ist jetzt richtig. Ich meine ich habe
> gelernt, dass auch Lehrbücher mal Fehler machen
Das stimmt wahrlich, und es macht einem viel Kopfzerbrechen, wenn das der Fall ist.
Allerdings: die meisten Fehler in meinem Leben habe ich gemacht und nicht die Lehrbücher.Leider.
Gruß v. Angela
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Gut also lass ich die Lösungen so stehen dankeschön. Also da [mm] y_0=y_2=0 [/mm] ist, ist nur L1(x) relevant und muss angepasst werden. Zusätlich dazu brauch dann nur [mm] L_3 [/mm] berechnet werden (so das Lehrbuch  ). Ich denke, dass genau dort der Fehler gemacht wurde. [mm] L_1 [/mm] und [mm] L_3 [/mm] wurden im Lehrbuch vertauscht und [mm] L_2 [/mm] musste angeblich nicht berechnet werden. Würde ich allerdings [mm] L_2 [/mm] berechnen, würde ich genau dasselbe Ergebnis erhalten, wie das Lehrbuch für [mm] L_1. [/mm] Aber eine Entschuldigung ist das nicht.
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Ich habe ein Problem bei einer Aufgabe und zwar ist das Ergebnis welches ich bekomme anders als das in meinem Lehrbuch. Da ich nicht der einzige mit diesem Ergebnis bin, denke ich, dass mein Lehrbuch eine Falsche Lösung angibt. Es wäre sehr nett, wenn ihr mein Ergebnis überprüfen könntet. Ich habe die 4 Stützstellen
[mm] (0/0);(\bruch{\pi}{6}/0,5);(\bruch{\pi}{2}/1);(\pi/0)
[/mm]
und es gelten demnach die Lagrange Polynome:
[mm] L_0(x)=\bruch{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}
[/mm]
[mm] L_1(x)=\bruch{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}
[/mm]
[mm] L_2(x)=\bruch{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}
[/mm]
[mm] L_3(x)=\bruch{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}
[/mm]
Liege ich damit richtig???
Ich berechne nun zunächst [mm] L_0(x) [/mm] und erhalte:
[mm] \bruch{12}{\pi^3}x^3-\bruch{20}{\pi^2}x^2+\bruch{3}{2\pi}x-1
[/mm]
Liege ich damit ebenfalls richtig???
Als nächstes berechne ich [mm] L_1(x) [/mm] und erhalte:
[mm] \bruch{108x^3}{5\pi^3}-\bruch{162x^2}{5\pi^2}+\bruch{54x}{5\pi}
[/mm]
Liege ich damit ebenfalls richtig???
Als nächstes berechne ich [mm] L_2(x) [/mm] und erhalte:
[mm] \bruch{8x^3}{\pi^3}+\bruch{28x^2}{3\pi^2}+\bruch{4x}{3\pi}
[/mm]
Liege ich damit ebenfalls richtig???
Und zuletzt berechne ich [mm] L_3(x) [/mm] und erhalte:
[mm] \bruch{12x^3}{5\pi^3}-\bruch{8x^2}{5\pi^2}+\bruch{2x}{10\pi}
[/mm]
Liege ich damit ebenfalls richtig???
Als aller letztes muss ich ja nun noch [mm] p_L(x) [/mm] berechnen. Aber zunächst wollte ich wissen, ob ich mit den Lösungen richtig liege. Dankeschön im Vorraus
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Hallo,
ich habe ehrlich gesagt keine Lust, das nachzurechnen. Es ist ja simples Einsetzen der [mm] x_i, [/mm] mehr als Rechenfehler kann man eigentlich nicht machen.
Ob Dein Endergebnis stimmt, kannst Du doch kontrollieren: plotte doch Dein Interpolationspolynom mal.
Und plotte auch das aus dem Buch. Dann siehst Du doch, welches paßt.
Gruß v. Angela
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Ja das hatte ich ja eigentlich auch vor. Aber wo finde ich denn eine Seite wo ich das plotten kann? Dankeschön im Vorraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Do 13.09.2007 | | Autor: | luis52 |
> Ja das hatte ich ja eigentlich auch vor. Aber wo finde ich
> denn eine Seite wo ich das plotten kann?
Hier
http://bayes.math.montana.edu/cgi-bin/Rweb/Rweb.cgi
Deine Ergebnissen habe ich (ohne Gewaehr) wie folgt umgesetzt:
| 1: |
| | 2: | L <- function(x){
| | 3: | x <- x/pi
| | 4: | L0 <- 12*x^3-20*x^2+(3/2)*x-1
| | 5: | L1 <- (108/5)*x^3-(162/5)*x^2+(54/5)*x
| | 6: | L2 <- 8*x^3+(28/3)*x^2+(4/3)*x
| | 7: | L3 <- (12/5)*x^3-(8/5)*x^2+(2/10)*x
| | 8: | L <- 0*L0+0.5*L1+1*L2+0*L3
| | 9: | L}
| | 10: | curve(L(x),from=0,to=pi)
| | 11: | points(cbind(c(0,pi/6,pi/2,pi),c(0,0.5,1,0)),pch=16)
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Sieht nicht gut aus...
lg Luis
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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>
> könntet. Ich habe die 4 Stützstellen
> [mm](0/0);(\bruch{\pi}{6}/0,5);(\bruch{\pi}{2}/1);(\pi/0)[/mm]
> und es gelten demnach die Lagrange Polynome:
>
> [mm]L_0(x)=\bruch{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}[/mm]
>
> [mm]L_1(x)=\bruch{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}[/mm]
>
> [mm]L_2(x)=\bruch{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}[/mm]
>
> [mm]L_3(x)=\bruch{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}[/mm]
>
> Liege ich damit richtig???
>
> Ich berechne nun zunächst [mm]L_0(x)[/mm] und erhalte:
>
> [mm]\bruch{12}{\pi^3}x^3-\bruch{20}{\pi^2}x^2+\bruch{3}{2\pi}x-1[/mm]
Hallo,
ich habe dieses Polynom mal geplottet, und man sieht an den Nullstellen auf den ersten Blick, daß das nicht stimmen kann.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Do 13.09.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Dominic,
> Im Lehrbuch steht eine Aufgabe geschrieben, bei der die 4
> Stützpunkte
> [mm](0/0);(\bruch{\pi}{6}/0,5);(\bruch{\pi}{2}/1;(\pi/0)[/mm] gegebn
> sind.
> [mm]L_2[/mm] brauche ich in diesem Fall wohl ebenfalls nicht
> berechnen und für [mm]L_3[/mm] erhalte ich (Ich lasse den Rechenweg
> auch hier mal weg)
>
das verstehe ich nicht. Wenn wir haben [mm] $x_0=0$, $x_1=\pi/6$,
[/mm]
[mm] $x_2=\pi/2$, $x_3=\pi$ [/mm] und [mm] $y_0=0$, $y_1=1/2$,
[/mm]
[mm] $y_2=1$, $y_3=0$, [/mm] dann benoetige ich doch [mm] $L_1$ [/mm] und [mm] $L_2$, [/mm]
nicht aber [mm] $L_0$ [/mm] und [mm] $L_3$, [/mm] oder?
lg Luis
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