Interpretation einer Gleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X eine geometrisch verteilte Zufallsvariable mit Parameter p. Für [mm] $n,k\in\IN$
[/mm]
gilt dann:
[mm] $\IP(X [/mm] = k) = [mm] \IP(X [/mm] = n-1 [mm] +k|X\ge [/mm] n)$
Erklären Sie, warum diese Eigenschaft Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung genannt wird, anhand der Interpretation von X als Zeit des
ersten Erfolgs in einem Bernoulli-Experiment. |
Hallo!
Im Interpretieren war ich noch nie gut - besonders in Deutsch  .
Ich habe erstmal versucht hinzuschreiben, was da als Gleichung steht:
Zunächst bedeutet [mm] $\IP(X \ge [/mm] n)$ die WA, dass beim n-ten Versuch oder beim (n+1)-ten oder beim (n+2)-ten usw. Versuch der erste Erfolg eingetreten ist, also umgedreht:
Der erste Erfolg ist auf jeden Fall nicht bis zum (n-1)-ten Versuch eingetreten.
Nun die gesamte Gleichung:
[Die WA, dass der erste Erfolg beim k-ten Versuch auftritt,
ist gleich der WA, dass der erste Erfolg beim $(n-1) + k$ - ten Versuch auftritt, wenn bis zum (n-1)-ten Versuch kein Erfolg eingetreten ist.]
Ich würde nun also sagen, es heißt Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung, weil es für den k-ten Versuch uninteressant ist, wieviele Misserfolge vor diesem k-ten Versuch stattgefunden haben.
Ich habe bloß Probleme mit dieser Interpretation, weil das doch nicht nur bei der geometrischen Verteilung so ist, oder? Bei der Binomialverteilung ist es doch zum Beispiel auch uninteressant, wieviele Misserfolge vorher stattgefunden haben?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Sa 07.11.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo Stefan,
> Sei X eine geometrisch verteilte Zufallsvariable mit
> Parameter p. Für [mm]n,k\in\IN[/mm]
> gilt dann:
>
> [mm]\IP(X = k) = \IP(X = n-1 +k|X\ge n)[/mm]
>
> Erklären Sie, warum diese Eigenschaft Gedächtnislosigkeit
> der geometrischen Verteilung genannt wird, anhand der
> Interpretation von X als Zeit des
> ersten Erfolgs in einem Bernoulli-Experiment.
> Zunächst bedeutet [mm]\IP(X \ge n)[/mm] die WA, dass beim n-ten
> Versuch oder beim (n+1)-ten oder beim (n+2)-ten usw.
> Versuch der erste Erfolg eingetreten ist, also umgedreht:
> Der erste Erfolg ist auf jeden Fall nicht bis zum
> (n-1)-ten Versuch eingetreten.
ja.
> [Die WA, dass der erste Erfolg beim k-ten Versuch
> auftritt,
> ist gleich der WA, dass der erste Erfolg beim [mm](n-1) + k[/mm] -
> ten Versuch auftritt, wenn bis zum (n-1)-ten Versuch kein
> Erfolg eingetreten ist.]
ja.
> Ich würde nun also sagen, es heißt Gedächtnislosigkeit
> der geometrischen Verteilung, weil es für den k-ten
> Versuch uninteressant ist, wieviele Misserfolge vor diesem
> k-ten Versuch stattgefunden haben.
genau: Eine Eigenschaft, die für viele Menschen wenig intuitiv ist. Es soll sogar Leute geben, die meinen, dass die Wsk. eine 6 zu würfeln steigt, je länger die 6 beim bisherigen Würfeln nicht gekommen ist. Das ist natürlich falsch.
> Ich habe bloß Probleme mit dieser Interpretation, weil das
> doch nicht nur bei der geometrischen Verteilung so ist,
> oder? Bei der Binomialverteilung ist es doch zum Beispiel
> auch uninteressant, wieviele Misserfolge vorher
> stattgefunden haben?
das ist schon deshalb nicht so, weil eine binomialverteilte ZV die Erfolge bei einer vorher festgelegten Anzahl von Durchführungen zählt. Wenn nun schon erfolglose Versuche stattgefunden haben, ändert sich natürlich die Wsk., einen bestimmten Wert noch zu erreichen.
LG
Will
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Danke Will,
dass du mir die Augen geoeffnet hast
Grüße,
Stefan
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