Interpretation einer Matrix < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:19 So 04.09.2005 | | Autor: | triamos |
Nabend,
leider kann ich die Interpretation nicht nachvollziehen.
Folgendes, ich soll die Schnittmenge von zwei Ebenen bestimmen,
nachdem ich dann Gauß habe drüber laufen lassen, erhalte ich folgendes "Endschema"
[mm] \pmat{\beta & \alpha & \gamma & \gamma2 \\ 1 & 2 & 1 & -5 & 2 \\ 0 & -10 & 4 & 16 & -10 \\ 0 & 0 & 1/5 & -1/5 & 0 }
[/mm]
also da [mm] \gamma [/mm] & [mm] \gamma2 [/mm] gleich sind, kann ich frei wählen
aber dann:
woran kann ich jetzt schon erkennen, dass die Schnittmenge eine Gerade ist??
desweiteren:
[mm] -10\alpha [/mm] + [mm] 4\gamma +16\gamma [/mm] = -10
lt. "muster" lösung kommt [mm] \alpha =1+2\gamma [/mm] raus
warum??
ich hätte jetzt 1 für gamma eingestzt und dann ausgrechnet..aber dann sieht das ergebnis anders aus.
könnte mir das bitte jemand erklären?
danke
triamos
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 So 04.09.2005 | | Autor: | djmatey |
Hi,
Du schreibst ja selbst
[mm] -10\alpha+4\gamma+16\gamma=-10
[/mm]
Damit hast Du's doch fast schon, denn da steht ja jetzt
[mm] -10\alpha+20\gamma=-10 |-20\gamma
[/mm]
[mm] -10\alpha=-10-20\gamma [/mm] |/(-10)
[mm] \alpha=1+2\gamma
[/mm]
Eigentlich kann man's aber auch direkt ausrechnen, denn durch die Bedingung
[mm] \gamma= \gamma^{2}, [/mm] die Du ja richtig angegeben hast, steht ja schon fest, dass [mm] \gamma [/mm] entweder 0 oder 1 ist, denn keine andere reelle Zahl erfüllt diese Bedingung!
Also falls [mm] \gamma=0, [/mm] gilt [mm] \alpha=1 [/mm] und [mm] \beta=0
[/mm]
Und falls [mm] \gamma=1, [/mm] gilt [mm] \alpha=3 [/mm] und [mm] \beta=0
[/mm]
Beste Grüße,
djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:21 So 04.09.2005 | | Autor: | triamos |
Hallo,
ja...hmm..vielleicht habe ich mich bisschen falsch ausgedrückt.
Also der Rechenweg wie ich auf
[mm] \alpha [/mm] = 1 + [mm] 2\gamma [/mm]
komme ist mir schon klar.
Was ich nicht verstehe ist, wenn ich doch vorher sage, dass [mm] \gamma_{1}=\gamma_{2} [/mm] ist, und ich dann für [mm] \gamma_{1} [/mm] beliebig dann z.b 1 wähle,
dann hieße das für mich:
[mm] -10\alpha [/mm] + 4*(1) + 16*(1) =-10 [mm] \gdw -10\alpha=-10-20 \gdw \alpha=3
[/mm]
Ja, und was ist mit der Teilfrage, woran ich erkennen kann dass es sich um eine Gerade handeln muss?
Danke
triamos
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:23 So 04.09.2005 | | Autor: | djmatey |
Hi,
das ist ja auch richtig, was Du schreibst:
Wenn [mm] \gamma=1 [/mm] ist, stimmt die Gleichung so, und es kommt [mm] \alpha=3 [/mm] raus - das deckt sich ja auch mit der (allgemeinen) Berechnung von [mm] \alpha [/mm] als [mm] \alpha=1+2\gamma.
[/mm]
Der Unterschied ist nur, dass [mm] \alpha [/mm] einmal allgemein in Abhängigkeit von [mm] \gamma [/mm] ausgerechnet wird, und einmal konkret mit einer speziellen Zahl, nämlich 1.
War das Deine Frage...?
Sorry wg. der anderen Frage - hatte ich übersehen!
Das sieht man so:
Wenn Du 2 Ebenen gleichsetzt, erhältst Du ein lineares Gleichungssystem mit 4 Unbekannten in 3 Gleichungen. Deshalb hängt beim Auflösen am Schluss immer die dritte Variable von der vierten ab (bei sich schneidenden Ebenen), z.B. hängt bei Variablen a,b,c,d nach dem Auflösen c von d ab. Beim rückwärtigen Einsetzen bleibt auch für a und b somit die Abhängigkeit von d, weswegen beim Einsetzen in die Ebenengleichung am Schluss diese nur noch von einer Variablen (hier d) abhängt, d.h. es entsteht eine Geradengleichung.
Falls die Ebenen parallel sind, hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Falls sie ineinander liegen, hast Du eine Abhängigkeit von ZWEI Variablen, weswegen beim finalen Einsetzen in die Ebenengleichung diese weiterhin von zwei Parametern abhängt, d.h. eine Ebenengleichung bleibt. Dieses ist dann die Schnittebene, also die Ebene selbst, denn die beiden liegen ja ineinander.
Kurz zusammengefasst:
LGS hat keine Lösung ----> Ebenen parallel
LGS hat eine Lösung in Abhängigkeit von einem Parameter ----> Schnittgerade
LGS hat eine Lösung in Abhängigkeit von zwei Parametern ----> Ebenen liegen aufeinander
Best grtz
djmatey
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